第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理

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1、第五章弹性力学的求解方法和一般性原理内容介绍知识点 弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程   应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理学习思路:   通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。   弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是

2、15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。   由于基本方程与15个未知量的内在联系，例如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量；反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。基于上述的理由，为简化求解的难度，可以选取部分未知量作为基本未知量求解。   根据基本未知量，弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。   上述三种求解方法对应于

3、偏微分方程的三种边值问题。学习要点：   1.弹性力学基本方程；   2.本构方程；   3.边界条件；   4.弹性力学边值问题；首先将弹性力学基本方程综合如下：   1.平衡微分方程       用张量形式描述         2.几何方程         用张量形式描述            变形协调方程 当然，具体求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以而且必须做出必要的简化。根据几何方程和本构方程可见，位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。   假如已知位移分量，通

4、过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。   基于上述的理由，为简化求解的难度，选取部分未知量作为基本未知量。      若以位移函数作为基本未知量求解，称为位移解法；      若以应力函数作为基本未知量，称为应力解法；      若以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量，称为混合解法。      在给定的边界条件下，求解偏微分

5、方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。   按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。      第一类边值问题：已知弹性体内的体力Fbx，Fby，Fbz和其表面的面力Fsx，Fsy，Fsz，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为面力边界条件。      第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量Fbx，Fby，Fbz以及表面的位移分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为位移边界条件。      第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量Fb

6、x，Fby，Fbz，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称为混合边值问题。      以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。4．边界条件：      如果物体表面的面力Fsx，Fsy，Fsz为已知，则边界条件应为：称为面力边界条件，用张量符号表示为   如果物体表面的位移已知，则边界条件应为称为位移边界条件

7、。除了面力边界条件和位移边界条件，还有混合边界条件。   综上所述，弹性力学的基本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，共计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个基本方程。   这里没有考虑变形协调方程，原因是位移已经作为基本未知量。对于任意的单值连续的位移函数，如果设其有三阶的连续导数，则变形协调方程仅仅是几何方程微分的结果，自然地满足，所以位移作为基本未知量时，不需要考虑变形协调方程。   要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边

8、界条件。    弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。位移解法是以位移函数作为基本未知函数求解的，所以需要通过几何方程将位移函数表达为应变分量，再通过物理方程将其表达为应力分量，代入平衡微分方程即可得到位移解法的基本方程。      首先，根据物理方程和几何方程，可以得到由位移分量表达的应力分量，即其中将上述位移表示的应力分量代入平衡微分方程，整理后可得这里是拉普拉斯运算符号，即   上述方程是以位移表示的平衡微分方程，称为拉梅（Lamé）方程，它可以表示为张量