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《利用空间向量解立体几何(完整版).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。基本思路与方法一、基本工具1.数量积：aba
2、bcos2•射影公式：向量a在b上的射影为abm3.直线AxByC0的法向量为A
3、,B，方向向量为B,A4.平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系1.平行关系线线平行两线的方向向量平行面面平行两面的法向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2•垂直关系线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直线与面的法向量平行面面垂直两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离1•点点距离点PXi，^i，Zi与Q*2、科2、乙2的距离为PQ辰―xi)2(y2—yi)2(Z2―Z72•点线距离求点PXo,yo到直线l:AxByC0的距离:方法：在直线上取一点Qx,y，uuu则向量PQ在法向量nA,B上的射影PQn=
4、AxoByoCx/A2B2即为点P到
5、I的距离.3.点面距离求点Pxo，yo到平面的距离：方法：在平面上去一点Qx,y，得向量PQ计算平面的法向量n，计算PQ在上的射影，即为点P到面的距离.四、用向量法解空间角1•线线夹角（共面与异面）线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角2•线面夹角求线面夹角的步骤:①先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可,若为钝角，则取其补角；②再求其余角，即是线面的夹角.3•面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，贝匸面角等于法向量的夹角的补角.实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a,b所成角B,只要在两条异面直线uuiru
6、uir’一uuuruuura,b上各任取一个向量AA和BB'，则角VAA',BB'>=B或n-B,因为Buuuruuur是锐角，所以COS0二［lAAiBBT
7、,不需要用法向量。AA'BB'I1、运用法向量求直线和平面所成角设平面a的法向量为n=（x,y,1）,则直线AB和平面a所成的角B的正弦值为uuursin0=C0S（2-0）=
8、cos
9、二uuurABtuu-r-AB?n2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为rm,则或n-<□,n2>是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<□,n2>是所求，还是n-<门仆n2>是所求角。1、运
10、用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为在a、b上任取一点A、B,则异面直线na、/uunrd=AB•cos/BAA=
11、AEr?n
12、
13、n
14、略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a为过F与a平行的直线，/////在a、b上任取一点A、B,过A作AA=EF,交a于A,uuuur/uurr则AA〃n，所以/BAA=（或其补角）iuur•••异面直线a、b的距离d=AB-cos/BAAJAB?n
15、*
16、n
17、其中，n的坐标可利用a、b上的任一向量a,b(或图中的AE.BF)，及n的定义得an?a0①bn?b0解方程组可得n。2、求点到面的距离求A点到平面a
18、的距离，设平面a的法向量法为n(x,y,1)，在auuur内任取一点b,则a点到平面a的距离为d=俾也，n的坐标由n与
19、n
20、'平面a内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组(类似于前面所述，若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设n(1,y,0),下同)3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面a的距离，设平面a的法向量法为n(x,y,1)，在直线a上任取一点A,在平面a内任取一点B,则直线a到平面a的uuur距离d=
21、n
22、4、求两平行平面的距离设两个平行设平面a、B的公共法向量法为n(x,y,1),在平面a、uuurB内各任取一点A、B,则平面a到平面B的距离d=
23、A^
24、?n
25、
26、n
27、三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面a、B,两个面a、B的法向量为%^2,则urura//anaa//n1ituuitur//n-i//n2n1n2四、应用举例：例1:如右下图，在长方体ABCD—AiBiCiDi中已知AB=4,AD=3,AAi=2.EF分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.(1)求二面角C-DE-C1的正切值；(2)求直线EC与FDi所成的余弦值.解：(I)以A为原点，AB,
