2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直课件新人教A版必修第二册20210316268.ppt

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1、第八章　立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直

2、自学导引

3、1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间______一点O作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的______(或______)．2．异面直线所成角θ的范围：____________.特别地，当θ＝______时，a与b互相垂直，记作______．异面直线所成的角任意锐角直角0°＜θ≤90°90°a⊥b【预习自测】如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中异面直线A′B′与BC所成的角为_________.

4、异面直线AD′与BC所成的角为.【答案】90°45°【解析】∵A′B′∥AB，∴∠ABC为A′B′与BC所成的角，又∠ABC＝90°.∴A′B′与BC所成的角为90°.∵BC∥AD，∴∠D′AD为AD′与BC所成的角．∵∠D′AD＝45°，故AD′与BC所成的角为45°.

5、课堂互动

6、如图所示为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．题型1异面直线的判断素养点睛：本题考查了直观想象的核心素养．【答案】3【解析】平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，

7、CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有3对．异面直线的判定方法(1)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．1．下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若

8、a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b异面；④若空间三条直线满足a⊥b，b∥c，则a⊥c.其中真命题的序号为________．【答案】④【解析】①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c三种位置关系都有，所以①不正确；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c三种位置关系都有，所以②不正确；③由空间直线的位置关系和c与b可能异面或相交，所以③不正确；④因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c，所以④正确．如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．题型2异面直线所

9、成的角解：(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角．又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB．又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形．又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.【例题迁移1】(变换条件)在本例正方体中，若P是平面EF

10、GH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点．连接AF，AH，则OP∥AF.又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角．由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°.故OP与CD所成的角为45°.【例题迁移2】(变换条件)在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为θ，求AM和BN所成的角．素养点睛：本题考查了直观想象和数学运算的核心素养．所以BN∥MG.所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角

11、)是异面直线AM和BN所成的角．因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝θ.所以∠AMG＝180°－2θ，即AM和BN所成的角为180°－(180°－2θ)＝2θ.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则1

12、80°－θ为所求．[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.2．如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与