抛物线定义灵活应用探究

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1、抛物线定义灵活应用探究　　抛物线的定义描述了动点与定点和动点与定直线之间距离的相等关系，利用这种等量关系，我们可以将动态问题置于静态的环境中去解决，“以静制动”。若能灵活应用抛物线的定义探求思路，不仅能迅速找到解题的突破口，而且还能避免冗繁的运算，优化解题过程，提高解题速度，下面选取几例说明，以供参考。一、转化定义求方程例1已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上一个P（-3，m）到焦点的距离为5，求抛物线的方程。分析：由P点坐标及焦点位置可知抛物线开口向左，故可设出标准方程，依题设列方程组求解或通过定义转化求解。解法1

2、：（直接法）由于（-3，m）在第二、三象限，而焦点在x轴上，所以抛物线方程可设为y2=-2px（p>0），其焦点F（-■，0），∵P（-3，m）在抛物线上且

3、PF

4、=5，∴m2=6p，■，解得p=4m=±2■，故抛物线方程为y2=-8x。解法2：（定义法）设抛物线方程为y2=-2px（p>0），则焦点F（-■，0），准线为x=■。4又

5、PF

6、=5，由定义知■-（-3）=5，所以p=4，故抛物线方程为y2=-8x.点评：本题根据抛物线所过已知点而设出相应的标准方程。标准方程中只需待定p值，因此1中m不必求出；2利用定义回避m，将

7、P点到焦点距离等长的转化到准线的距离，简化了运算过程。二、拼凑定义求轨迹例2方程■=

8、x-y+3

9、表示的曲线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线分析：本题乍一看，不知道从何下手，有的同学两边平方然后化简，这样也可以，但计算量很大，若充分分析题目的特点，理解抛物线定义的实质，则本题可以迎刃而解。解：原方程变形为■=■，它表示点M（x，y）与F（-3，1）的距离等于点M到直线x-y+3=0的距离。根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线。故选D点评：本题若直接化简方程，再判断其轨迹较繁杂，然而根据方程两边所表示的几何意义，

10、利用抛物线的定义就简单的多了。三、巧用定义求最值例3已知P为抛物线y2=4x上一点，记P到此抛物线的准线的距离为d1，P到直线x+2y-12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）4A.■B.11■C.■■D.无法确定分析：若直接设出P（x0，■）（x0>0），根据d1+d2=x0+1+■，运用函数思想求解，需去掉绝对值，运算复杂。如果利用定义中相等关系进行转换，问题就能迎刃而解。解：如图1，根据抛物线的定义，可以将“P到此抛物线的准线的距离为d1”转换为“P到抛物线焦点F的距离”，所以当PF垂直于直线x+2y-12=0时

11、，d1+d2最小，并等于F到直线x+2y-12=0的距离

12、FE

13、，而F的坐标为（1，0），所以

14、FE

15、=■=■■，则d1+d2的最小值为■■，故选C。点评：本题利用抛物线的定义将抛物线上一点到准线的距离转化为到焦点的距离，仍然根据三点共线时取得最小值，可以发现抛物线的定义在解决问题时起了至关重要的作用。四、活用定义推证明例4求证：以抛物线的焦点弦（通过焦点的弦）AB为直径的圆与抛物线的准线l相切。证明：如右图所示：设抛物线方程为y2=2px（p>0），A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线焦点为F，AF=x1+■，BF=x

16、2+■，4∴AB=AF+BF=x1+x2+p，圆心即AB中点M到准线l的距离为d=■+■=■AB。故以抛物线的焦点弦（通过焦点的弦）AB为直径的圆与抛物线的准线l相切。点评：利用定义解题主要是依据抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，以达到转化。因此在利用定义解题时，能抓住问题的本质，化繁为简，化难为易，使问题较好地得以解决。（作者单位：河南省泌阳县一高）4