名校之门2011届高三数学精品复习之(20)多面体与球

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1、2011届高三数学精品复习之多面体与球1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等；内心三侧面与底面所成的二面角相等；垂心相对的棱垂直。正三棱锥中相对的棱垂直；三棱锥三侧棱（侧面）两两垂直顶点在底面上的射影为三角形的垂心；三棱锥一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心。[举例1]已知三棱锥S－ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是解析：∵点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心

2、，∴点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心；又△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心，即三棱锥S－ABC为正三棱锥。记SO=h（h

3、棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）.解析：①侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影O是底面的内心，又底面是等边三角形，故O是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；②在三棱锥S－ABC中，令AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；③底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影O到底面三边的距离相等，但这不意味着O是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角

4、的平分线与另一个角的外角平分线的交点），故三棱锥未必是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影O是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且O为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。[巩固1]已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为：（）A．8B．10C．20D．30[来源:学

5、科

6、网][巩固2]对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB

7、=AC，BD=CD，则BCAD②若AB=CD，AC=BD，则③若ABAC，BDCD，则BCAD④若ABCD，BDAC，则BCAD其中真命题的序号是。（写出所有真命题的序号）2．关注长方体对角线的性质：①长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角的余弦的平方和为1；②长方体的对角线与过一个顶点的三个面所成角的余弦的平方和为2；[来源:Zxxk.Com][举例]已知锐角、、满足：cos2+cos2+cos2=1,则tantantan的最小值为。解析：本题若考虑三角变换，将不胜其烦；由cos2+cos2+cos2=1联想

8、到锐角、、是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角，记该长方体过一个顶点的三条棱长分别为a、b、c,则tantantan=≥=，当且仅当a=b=c时，等号成立。[巩固]已知空间三平面、、两两垂直，直线与平面、所成的角都是300，则直线与平面所成的角是。3．求多面体的体积常用“割补法”，关注组成多面体的个部分体积之间的比例关系；如同底等高的“柱”是“锥”的体积的3倍；求“锥”的体积关键是“高”，“等积转换”是常用的办法。[举例1]以平行六面体相邻两个面上相互异面的两条对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面体的

9、体积的：（）ABCDA1B1C1D1A．B．C．D．解析：如图，以A1B和B1C的端点为顶点的四面体是三棱锥A1-BB1C，将原平行六面体视为四棱柱ADD1A1-BCC1B1，易见三棱锥的底面积是四棱柱[来源:Z§xx§k.Com]的底面积的一半，高相等，故三棱锥的体积是四棱柱的体积的，选A。C1B1A1ACC2A2B图3-1图3-2A1ACB1C1BH[举例2]如图3-1是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．求此几何体的体积．（07高考江西理20）解析：过作截面面，分别交,于

10、,．如图3-2，原几何体可视为四棱锥B-ACC2A2与三棱柱A1B1C1-A2BC2的组合体。作于，则BH是四棱锥的高，，=1；故所求几何体体积为。[巩固1]在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面BCC1B1是矩形，C1B1⊥AB，求平面C1AB1把棱柱分成两部分的体积的比。[巩固2]如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△