2012(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法

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1、排列组合常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．例1五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有种。分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人的全排列，种。二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是。分析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲

2、乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种。三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．例3A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有。分析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种。四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例4将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每

3、格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。7分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。例5有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有。分析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三

4、步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种。六、多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。例6由数字0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个。分析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个。七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式。例9从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，

5、共有多少种不同参赛方法？分析：设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：八、定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。例101名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种。7分析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。九、多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处

6、理。例116个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是。分析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种。例128个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素要排在后排，有多少种排法？分析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法。十、“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。例13从4台甲型和5台乙型

7、电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有种。分析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种。分析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有种。十一、选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。例14四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种分析：先取四个球中二个为一组，另

8、二组各一个球的方法有7种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种。例159名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？分析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种。十二、部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求。例16以一个正方体顶点为顶点的四面体共有个。分析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有