算法分析与设计 矩阵连乘问题

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1、第3章动态规划3.1矩阵连乘问题3.2动态规划算法的基本要素3.3最长公共子序列3.40-1背包问题本章主要知识点：算法总体思想动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)=但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。算法总体思想nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/

2、4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。算法总体思想动态规划基本步骤找出最优解的性质，并刻划其结构特征。递归地定义最优值。以自底向上的方式计算出最优值。根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。3.1矩阵连乘问题给定n个矩阵，其中与是可乘的，。考察这n个矩阵的连乘积由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连

3、乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积完全加括号的矩阵连乘积（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连乘积是完全加括号的，则可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积和的乘积并加括号，即完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：每一种完全加括号对应于一个矩阵连乘积得计算次序，而矩阵连乘积的计算次序与其计算量有密切的关系。下面是计算两个矩阵乘积的标准算法：完

4、全加括号的矩阵连乘积publicstaticvoidmatrixMultiply(doublea[][],doubleb[][],doublec[][],intra,intca,intrb,intcb){if(ca!=rb)thrownewIllegalArgumentException(“矩阵不可乘”);for(inti=0;i

5、[k]*b[k][j];c[i][j]=sum;}}设有四个矩阵，它们的维数分别是：16000,10500,36000,87500,34500通过矩阵乘积标准算法可知：若矩阵A是矩阵，B是矩阵，则乘积C=AB是矩阵，总共需要次数乘得到。这样可以计算每一种完全加括号方式的计算量，如总共有五中完全加括号的方式3.1矩阵连乘问题给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。穷举法

6、：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。算法复杂度分析：对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：P(n)是随n的增长呈指数增长。3.1矩阵连乘问题穷举法动态规划将矩阵连乘积简记为A[i:j]，这里i≤j考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k<

7、j，则其相应完全加括号方式为计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量1.分析最优解的结构特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。2.建立递归关系设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m

8、[1,n]当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i,i]=0，i=1,2,…,n当i