浅谈“线性”和“非线性”

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1、浅谈“线性”和“非线性”盐城市第四中学李芹摘要：本文主要比较了线性和非线性的区别。在高中数学课本中提到线性与非线性，但并未详细解释，因此有必要作个说明。本文首先简述了从线性到非线性的发展过程，然后探讨线性与非线性的区别，最后对两者的未来发展作了展望。关键词：线性非线性不等式是高中数学中的重要章节，其中线性规划问题与许多实际问题联系紧密，有一天课堂上学生问什么是线性啊？是不是还有非线性？问题一出，学生们立即产生了浓厚的兴趣。对呀，苏教版高中数学教材对此并无详细说明，当时我解释说，“线性”两字往往代之为“一

2、次”，如“一次方程”和“一次函数”，“二次函数”等等即为“非线性”。课后反思觉得学生一定还是云里雾里，有必要讲清楚，便做了一些探讨，似有收获，现以下文与大家共勉。线性原是数学上线性函数的简称，是指因变量与自变量成比例地变化，或者说变化过程中二者的比值不变的函数，线性概念就是从线性函数中抽象出来的，是线性函数特征的抽象化和泛化。近代西方科学，就是以牛顿力学为基础的线性科学，线性化方法在一定条件下，可以近似地甚至准确地反映客观事物，这种线性思维把世界描述成了一个稳定、规则、有秩序的世界。就像我们熟悉的城市，

3、现代建筑的结构体系等。20世纪下半叶，许多自然科学家在各自领域发现大量不同形式的现象或问题，例如风中摆动的旗帜、复杂不定的天气变化等，这些迫切需要科学上得出答案，非线性科学因而产生。它的诞生，宣布了牛顿经典决定论的局限性，其理论作为科学的一个分支，如同量子力学和相对论一样，将我们引入了全新的思想。另外，关于“非线性”还有个美丽的俗称，即“蝴蝶效应”，这源于1979年12月，洛伦兹（Lorenz）在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演，他的结论是一只蝴蝶在巴西煽动翅膀，有可能在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风。

4、可见，非线性不但具有大胆的想象力和迷人的美学色彩，更具有深刻的科学内涵和丰富的哲学魅力。中学数学可分为线性数学和非线性数学。线性方程、线性函数、线性规划、向量和矩阵、立体几何的点线面关系都是线性的。二次方程、二次函数、指数方程、指数函数、对数方程、对数函数，以及三角函数等初等函数则是非线性的。从现代数学的发展来看，线性数学已经基本成熟，非线性数学是当今数学发展的重点，从线性到非线性是质变，混沌、分形、小波等等都是非线性数学的成就。线性代数是大学数学中最重要的基础课。然而，我国中学数学教育里，线性数学的观

5、念并不强。究竟何为“线性”？何为“非线性”？简单讲，线性指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。我们说，线性关系是互不相干的独立关系，非线性则是相互作用，而正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。再比如，激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器

6、犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。具体从相互关联的两个角度来看，线性满足了两点，其一：叠加原理成立；其二：物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。相应地非线性概念就可以界定为：其—，“定义非线性算符为对一些、或、不满足的算符”，即叠加原理不成立，这意味着与间存在着耦合，对的作，等于分别对和的作外，再加上对与的交叉项(耦合项)的作，或者、是不连续(有突变或断裂)、不可微

7、(有折点)的。其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。对非线性概念的这两种表述实际上是等价的，其—叠加原理不成立必将导致其二物理变量关系不对称；反之

8、，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成立。之所以采用了两种表述，是因为在不同的场合，对于不同的对象，两种表述有各自的方便之处，如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的，后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。当然，对于线性规划问题，我们已有通用解法，而非线性规划的各种算法大多有自己特定的适用范围，都有一定的局限性，到目前为止还没有适合于各种非线性规划问题的一般算法。这正是需要人们进一步研究的