让人感到无理的数.docx

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1、NO.*比根号2更“无理”的数大家中学就学，根号2是一个无理数，它不能表示成两个整数之比，是一个看上去毫无律的无限不循小数。早在古希腊代，人就了种奇怪的数，推翻了古希腊数学中的基本假，直接致了第一次数学危机。事上，根号2只是最普通的无理数。在无理数大家庭中，有很多比根号2更异的数。（注：从史角度来看，把“无理数”理解成“无理的数”其是一种的做法。中国最初irrationalnumber的翻是不的，irrational个本取“不可比的”之）代数数与超越数根号2然是无理数，不也不是那么没律了。它是方程x2-2=0的其中一个解。如果某个数能成一个整系数

2、多式方程（an·xn+⋯+a1·0=x+a0）的解，我就把它叫做“代数数”（algebraicnumber）。那些用根号表示出来的无理数，全都是代数数。不是代数数的数被称“超越数”（transcendentalnumber），它不足任何一个整系数多式方程。超越数无疑是更“怪”的数，是否存在的数在数学史上早有争。1844年，法国数学家柳（JosephLiouville）构造了第一个超越数——柳数（Liouvillenumber）。个数是0.000000001⋯，其中小数点后面第1，2，6，24，120，...位是1，其余位都是0。柳明了个数是一个超

3、越数，它不足任何整系数多式方程。1873年，法国数学家夏·埃米特（CharlesHermite）明了自然底数e是一个超越数。1882年，德国数学家林德曼（FerdinandvonLindemann）明了周率π是一个超越数。1N0.*NO.*但是，人们对超越数的了解还是太少。至今数学家们仍然不知道，π+e、π-e、π·e、π/e是否是超越数。虽然如此，大家还是普遍相信它们都是超越数，毕竟它们不大可能恰好满足一个各项系数都是整数的多项式方程。可计算数与不可计算数圆周率的小数展开看上去似乎是完全随机的，但毕竟是有办法算出来的。如果你想知道π的小数点后第

4、一亿位是多少，我总能在有限的时间里算出答案来。1975年，计算机科学家格里高里·蔡廷（GregoryChaitin）研究了一个很有趣的问题：任意指定一种编程语言中，随机输入一段代码，这段代码能成功运行并且会在有限时间里终止（不会无限运行下去）的概率是多大。他把这个概率值命名为了“蔡廷常数”（Chaitin'sconstant）。这听起来有点不可思议，但事实上确实如此——蔡廷常数是一个不可计算数（uncomputablenumber）。也就是说，虽然蔡廷常数是一个确定的数字，但现已在理论上证明了，你是永远无法求出它来的。可定义数与不可定义数尽管蔡廷

5、常数算不出来，不过我们却知道蔡廷常数是什么。它有一个明确的定义。但是，并不是所有的数都能够用有限的文字描述出来的。原因很简单，因为长度有限的文字段落是可以逐一枚举的（虽然有无穷多），而全体实数是不能枚举的，因此总存在一些不可能用语言描述出来的数。这种数就叫做不可定义数（undefinablenumber）。自然数也好，有理数也好，根号2也好，圆周率也好，蔡廷常数也好，它们都有明确的定义，都属于可定义数的范畴。事实上，整个人类历史上所有文献提到过的所有实数都是可定义的，因为它们都已经被我们描述出来了。但是，由于可定义数与全体实数的数量根本不在一个级

6、别上，不可定义的数远远多于可定义的数。2N0.*NO.*那么，谁发现了第一个不可定义数呢？答案是，从没有人发现过不可定义的数，以后也不会有人找到不可定义的数。因为不可定义数是无法用语言描述的，我们只能用非构造的方式证明不可定义数的存在性，但却永远没法找出一个具体例子来。好在，虽然有那么多数是没有办法描述的，但数学家们也不会损失什么。每一个值得研究的数一定都有着优雅漂亮的性质，这些性质就已经让它成为了能够被定义出来的数。3N0.*