开题报告：是不是分数？-徐汇教育.docx

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1、1/2是不是分数？陈飞在小学的数学教材中就介绍了分数，教材中把分数定义为两个互质的整数p,q之比p/q，而把p称之为分子，把q称之为分母，把“/”称之为分数线，到现在为止我国的教材都是使用这个定义的。可是到了初中讲二次根式，在化简一般根式为最简根式时，通常经过“分母有理化”这一方法把“分母”中的根式化成整数。举个例子来说，把1/2通过“分母有理化”化为2/2。那么学生很可能会产生这样的疑问：1/2是不是分数？一般说来，如果把上述方法称之为“分母有理化”的话，那么很显然1/2是作为分数来处理的，这就不符合小学数学教材中的关于分数的定义，因为2并不是整数，也不可能通过把化简而使

2、1/2成为一个分数。那么我们如何来理解“分母有理化”呢？其实，在化简根式时所用的“分母有理化”并不是真正意义下的“分母”的有理化，而只是把“/”后面的那个根式，通过等价变形的原则即“/”前后的式子同时乘以一个相同的根式，从而使其成为一个有理数（式）。而如果我们把分数定义成两个整数相除所得的结果，并且把“/”叫做分数线，那么学生会在头脑中抓住分数定义的一个特点：两个数之间有个符号“/”，而我们知道，分数也即是有理数，从而有限的以及无限循环小数都可以统一到分数的范围，从而两个数之间有个符号“/”并不是分数的本质特点。但是我们在说“/”叫做分数线时，向学生传递了这样的一个信息：分

3、数必然有分数线，从而分数线的存在是分数的一个本质特点。那么在中学讲二次根式时，看到了1/2或者2/2中的符号“/”，学生马上就会反映出这是一个分数的信息。所以问题的症结在于“分数线”的说法。要解决这个问题，有两个不同的处理方法。第一，就是严格遵守数学教学中语言的科学性原则，不谈“分母有理化”，把化一般根式为最简根式的方法叫做“按分式的性质化简根式，使得根式中‘/’后面的根式化为整数或整式”。但我个人以为这样的教学是繁琐的，没有必要的，教学效果也是比较差的，因此个人认为这种方法并不可取。在国外的一些教材中，不把分数讲成是分子、分母和分数线三者结合起来的一个表达式，而只说几除以

4、几，不把分数看成结果，而只是一个除法的过程，而符号“/”就是除法中的除号，在讲最简根式时，就不必说“分母有理化”了，而只是化简一个根式的一种方法。这样一来，虽然对分数概念的理解不易产生偏差，学生不会产生类似于1/2到底是不是分数的问题，也把分数和分式的概念形式上统一了起来，但是如果不定义“/”，对小学生来说，分数的定义又是一个头疼的问题。而且不能把1/2叫做“2分之一”，而只能说是“1除以2”了。第二种处理方法是依然把化一般根式为最简根式的方法叫“分母有理化”，把这样的叫法称之为一种语言上的约定俗成，因为就拿语言的产生来说，本身就是一种社会约定的结果。1而由于带根式的分式有

5、类似于分数的写法和性质，形式上很象分数。我们可以在讲解这部分内容时加以说明：此处并非是一个分数，而我们用“分母有理化”这样的说法也只是因为1/2和分数有类似的形状，我们把2姑且叫做“分母”作为一种约定俗成，正是在上述意义下我们才把上述的化简过程简单地称之为“分母有理化”。而“分母有理化”的说法很好的概括了把一般根式化简为最简根式的这种方法，学生也易于接受和理解，因为学生以前在学习分数时，已经非常熟悉分数的性质，学习这部分新知识时，用“分母有理化”的说法有利于学生的已有的关于分数性质的正向迁移。但同时也应注意由此而引出的问题，即学生关于分数线“/”的理解对此产生的负向迁移，而

6、有了本文一开始所提出的问题。我想这里有一点是必须要加以说明的，数学语言由于其严格性、精确性、无歧义性而成为一种国际通用的语言，各个国家的数学家所谈论的概念必定是同一个概念，而不会发生概念上的歧义。那么是否要求我们的数学教学中的语言也一定要严格、精确、无歧义呢？这里有一个问题需要澄清，即数学语言的严格性精确性和数学教学语言的严格性精确性不是一回事，也就是说数学的严谨和数学教学的严谨不是一回事。比如说函数的概念，最严格的定义是用两个集合之间的关系来定义的，把一个函数定义为两个集合的直积集的子集，即fAB，但如果用这样的定义对中学生进行教学显然是不现实的。因此，虽然数学教学语言的

7、精确性是针对学生的心理接受水平而来的，与数学语言的精确性是两码事。其实，在很多的数学教材中，通过语言上的约定俗成而使一个复杂的问题简化、便于理解也是比较常见的。比如对于“平均数”的概念，其实一共有三种平均数：算术平均数、几何平均数和调和平均数。在初中阶段，我们所讲到的“平均数”指的总是算术平均数，这就是一种语言上的约定俗成，因为如果这时就强调指出是算术平均数，就会使学生产生一种惘然，因为在社会上普遍使用的是“平均数”，为什么同一概念在数学上就要叫做算术平均数，这在还没有学习几何平均数和调和平均数时就提出这样的概念不