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1、高等数学第二期半期考试试题一、解答下列各题（每题６分）1.1.利用二重积分求不等式r≤2cosq,r≤1所表达的区域的面积。2.2.设z=(1+xy)x,求dz 3.3.求函数 u=exyz在点P0(1,0,-1)沿方向的方向导数。其中P1的坐标为(2,1,-1).4.4.设u=f(x,y,z),而j(x2，ey，z)=0，y=simx其中f,j具有一阶连续偏导数，且求。5.5.设z=z(x,y)由。6.6.求曲面x2+4y-z2+5=0垂直于直线的切平面方程。二、（每题８分）1.1.计算二重积分 其中Ｄ：x2+y2≤1。2.2.计算二次积分。三、（每题８分）1.1.求
2、的一个特解。2.2.求微分方程的通解。四、（８分）利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面z=x2+2y2到平面x+2y-3z=2的最短距离。五、（１０分）求函数在点(1,1,4)处沿曲线在该点切线方向的方向导数。六、（８分）利用极坐标计算七、(６分)设f(u)为可微函数，f(0)=0。一．（20分）计算下列各题：1．1．Z=,求ZX,ZY2．2．U=xy2z3,求Ux,Uy,Uz3．3．U=, 求dU4．4．Z=f(xsiny,x), 求Zx,Zxx.二．（10分）１．已知曲空曲线Γ：在（-1,1,-1）处的切线及法平面方程。２．求球面x2+y2+z2=56在M0(2,4,6
3、)的切平面及法线方程。三．（8分）求Z=x2–xy+y2+9x-6y+20的极值四．（20分）计算下列各题：１．, D：y=x，y=5x，y=1围成区域。２．积分换序:将下积分化为先对X后对Y的积分。３．,D：４．,V：z=xy,x+y=1,z=0如图：五．（15分）计算曲线积分：１．１．,L：为由直线y=x及抛物线y=x2所围区域边界。２．２．,L：为圆周x=Rsint,y=Rcost上对应t从0到的一段弧.３．３．利用格林公式计算曲线积分，L为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界。Z六．（10分）计算曲面积分：１．I=,∑：x2+y2-z2
4、=0,0≤z≤1XY２．,∑：x+y+z=1, 侧向如图：七．（10分）求解各题：１．１．２．２．验证(siny-ysinx+x)dx+(cosx+xcosy+y)dy是某函数u(x,y)的全微分，并求出该函数u(x,y).八．（7分）用高斯公式求：Σ：x2+y2+z2=a2的外侧第二学期高等数学半期试题解答一．（20分）计算下列各题：1．1．Z=,求ZX,ZYZx=3yxy-1Zy=3XlnX2．2．U=xy2z3,求Ux,Uy,UzUx=y2z3Uy=2xyz3Uz=3xy2z23．3．U=, 求du4．4．Z=f(xsiny,x), 求Zx,Zxx.二．（10分）
5、１．已知曲空曲线Γ：在（-1,1,-1）处的切线及法平面方程。切线方程为：法平面方程：２．求球面x2+y2+z2=56在M0(2,4,6)的切平面及法线方程。设切平面：(x-2)+2(y-4)+3(z-6)=0法线：三．（8分）求Z=x2–xy+y2+9x-6y+20的极值得驻点(-4,1)为极小值点 四．（20分）计算下列各题：１．, D：y=x，y=5x，y=1围成区域。２．积分换序:将下积分化为先对X后对Y的积分。３．,D：４．,V：z=xy,x+y=1,z=0如图：五．（15分）计算曲线积分：１．１．,L：为由直线y=x及抛物线y=x2所围区域边界。原积分＝２．
6、２．,L：为圆周x=Rsint,y=Rcost上对应t从0到的一段弧.原积分＝３．３．利用格林公式计算曲线积分.L为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界。原积分＝Z六．（10分）计算曲面积分：１．１．YI=,∑：x2+y2-z2=0,0≤z≤1X ２．,∑：x+y+z=1, 侧向如图：原积分＝七．七．10分）求解各题：1. （因为，故积分与路径无关）2.验证(siny-ysinx+x)dx+(cosx+xcosy+y)dy是某函数u(x,y)的全微分，并求出该函数u(x,y). 八．（7分）用高斯公式求：Σ：x2+y2+z2=a2的外侧
7、原积分＝
