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1、化工传递过程第四章边界层流动-2边界层积分动量方程问题提出普兰德边界层方程虽然比一般的奈维-斯托克斯方程简单,但仍是非线形的,只在少数几种简单的流动(如平板)才能获得精确解,工程实践中遇到的问题要复杂得多,直接求解普兰德边界层方程相当困难.为此,人们采用了各种近似方法来解决工程中的实际问题.积分动量方程就是一种计算量小目前在工程实践中广泛采用的一种方法.动量方程的基本思想对边界层进行微分动量恒算,建立边界层积分动量方程利用一个单参数速度速度分布ux=f(y)近似代替真实的速度分布ux=f(x,y),将其代入到边界层积分动量方程中积分求解
2、利用积分结果计算诸如边界层厚度,曳力系数等物理量.积分动量方程推导不可压缩流体沿壁面稳态层流边界层如图所示:密度ρ粘度为μ的不可压缩流体在任一光滑壁面上流动,边界层外来流速度为uo,距平板前缘x处的边界层厚度为δ在平板前缘x处取一微元控制体积分动量方程推导控制体的体积为:它由两个无限接近的边界层截面1-2和3-4,壁面1-4及外流区与边界层的界面2-3所组成,在板的宽度方向取单位厚度积分动量方程推导将动量守恒原理应用于微元控制体有:仅考虑x方向上的分量则有:作用在微元控制体上的合外力微元控制体在x方向上动量变化速率积分动量方程推导1-2
3、截面以对流方式流入该截面的质量流率和动量流率分别为:积分动量方程推导3-4截面:以对流方式流出该截面的质量流率和动量流率分别为:积分动量方程推导1-4截面:该截面没有流体质量和动量的流出:积分动量方程推导2-3截面:在稳流状态下流入该截面的质量流率等于截面3-4与截面1-2质量流率之差:积分动量方程推导2-3截面取在边界层的外边缘处,在此流体以外流速度流入控制体,因此从该截面流入的动量流率为:积分动量方程推导整个微元体内净动量变化速率为流出与流入之差:积分动量方程推导作用在控制体上的力(取x方向为正号)作用在1-4截面上的力为剪应力引起
4、的摩擦曳力:积分动量方程推导作用在1-2截面上的力为压力:积分动量方程推导作用在3-4截面上的力为压力:积分动量方程推导2-3截面与理想流体接触无剪应力,作用在该截面上的力为压力:积分动量方程推导作用在整个微元控制体上的合外力为:将合外力和动量变化速率代入动量恒算式后有:由于推导过程假定为x方向的一维流动,故可以将偏微分写为常微分的形式(4-39)卡门边界层积分动量方程积分动量方程推导对于平板壁面流动,在边界层内满足:因此积分动量方程可以表示为由上式可以看出,如果知道速度沿y方向的分布,则可将其代入上式的左侧积分,右侧可以通过速度分布的
5、微分获得,进而可以获得边界层厚度,曳力系数等有用的量.从理论上讲,速度分布需要求解运动方程和连续性方程,为了避开这一难题,可以先假设一个速度分布,将其代入(4-40)中求解,将其结果与实验数据比较,如果吻合,说明所假设的速度分布正确,这是一种近似方法,显然,假设的速度分布越接近实际情况,结果也越可靠.平板壁面上边界层的近似解仍以不可压缩流体在平板壁面上的稳态层流边界层为例讨论边界层积分动量方程的求解.边界层速度侧形的确定大量的实验观察和测量表明,平板层流边界层的速度侧形可以用n次多项式函数逼近，即：待定系数，利用速度侧形在边界层上所满足
6、发、的条件确定平板壁面上边界层的近似解由于在边界层外缘处边界层内的速度与外部来流速度相衔接，所以速度侧形在边界层外部边界满足的条件为：平板壁面上边界层的近似解速度侧形在壁面满足的条件为：粘性流体在壁面上满足不滑脱条件，即：其次，在壁面处的普兰德方程为：平板壁面上边界层的近似解将普兰德边界层方程对y求偏导数有：对不可压缩流体，在壁面处有：平板壁面上边界层的近似解同样可以考察更高阶导数在壁面处也存在上述情况：因此速度侧形在壁面处满足的条件为：为了确定速度侧形多项式中的待定系数，可以从上述的边界条件中选取n+1可最重要的边界条件，得到含有n+
7、1和待定系数的多项式代数方程组，求解该方程组就可以得出速度测形的待定系数，进而获得速度侧形的具体函数关系。平板壁面上边界层的近似解以1次至4次多项式为例说明求解过程线性多项式：满足边界条件为：代入后获得速度侧形为：平板壁面上边界层的近似解二次多项式：选择3个边界条件：速度侧形为：平板壁面上边界层的近似解三次多项式满足边界条件：速度侧形为：平板壁面上边界层的近似解四次多项式：满足边界条件速度侧形为：平板壁面上边界层的近似解利用三次多项式速度侧形求解边界层动量方程：将速度侧形代入边界层积分动量方程有：积分后有：平板壁面上边界层的近似解将壁面
8、剪切应力用牛顿粘性定律代入有：将上式代入后化简得到：在边界条件（x=0,δ=0)条件下积分有：平板壁面上边界层的近似解将前式写为无因次形式：其中：平板壁面上边界层的近似解确定流体沿壁面流动的摩擦曳力：先求局
