函数的单调性值讲义模板.doc

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1、龙文教育学科教师辅导讲义课题函数的单调性和最大（小）值（1）教学目标1.理解增函数、减函数的概念；2.掌握判断某些函数增减性的方法；重点、难点教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明考点及考试要求教学内容引例：观察y=x2的图象，回答下列问题问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着x的增加，y值在增加。问题2：怎样用数学语言表示呢？设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1),y2=f(x2).当x1

2、]上是增函数。（同理分析y轴左侧部分）由此可有：知识点一函数的单调性概念一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasingfunction)。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函

3、说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意（1）证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义进行。x1、x2三个特征一定要予以重视。函数的单调性定义中的x1、x2有三个特征：一是任意性，即“任意取x1、x2”，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特征值替换；二是有大小，通常规定x1

4、在整个定义域（-∞，﹢∞）上是增函数，y=-x在整个定义域（-∞，﹢∞）上是减函数。②这个区间也可以是定义域的真子集如在定义域（-∞，﹢∞）不具备单调性，但在（-∞，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数。③有的函数不具备单调性如函数它的定义域为R，但不具备单调性；再如y=x+1，x∈Z，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。（3）区间端点的写法。对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）。（4）若函

5、数f（x）在其定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，不能就说f（x）在A∪B上是增（减）函数。如f（x）=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但不能说在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，事实上，取x1=-1<1=x2，有f（-1）=-1<1=f（1），不符合减函数的定义。例1：y=f(x)在区间，上是减函数；在区间，上是增函数，那么在两个区间的公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3处是增函数还是减函数？例2：函数y＝＝x2－6x＋10在区间（2，4）上是（　　）　　A、递减函数B

6、、递增函数C、先递减再递增D、选递增再递减例3：函数f（x）＝－＋2（a－1）x＋2在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（　　）　　A、a≥5B、a≥3C、a≤3D、a≤－5例4：若f(x)=x2-2ax+1在上是减函数，则a的取值范围是____________________例5：设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求解不等式f（x）＋f（x－2）＞1。例6：f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f()=f(x)－f(y)（1）求f(1)的值．（2）若f(6)=2，

7、解不等式f(x＋3)－f()＜2．知识点二函数单调性的证明和判断判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a.设任意x1、x2∈给定区间，且x1

8、（0，1]上是减函数。知识点三复合函数单调性判断以复合函数f[g（x）]为例。可按下列步骤操作：1.将复合函数分解成基本初等函数：y=f（u），u=g（x），2.分别确定各个函数的定义域；3.分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；4.若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是增或同减，则y=f[g（x）]为增函数；若为一增一减，则y=f[g（x）]为减