LU分解MatLab算法分析.docx

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1、最近矩阵分析老师出了一道题目作为作业，是一道程序题，题目是对A矩阵做LU分解，要求能对A实现PA=LU的分解，并最终输出L，U，P矩阵。先来解读下题目，寥寥几句话，里面囊括的信息量却不少，然后这些都得自己去琢磨。首先对A矩阵能做LU分解，即能把A分解成这种形式A=L*U（U是上三角矩阵，是由A矩阵经过高斯消元后得到的，L是下三角矩阵，其对角线全为1，其他非零元素为在消去（i,j）位置元素过程中主元所乘的系数），条件有3，一是矩阵A必须为方阵，A如果不是方阵，就不要想着对它做LU分解啦，这是基本条件，牢记啊！二是矩阵A必

2、须可逆，换种说法就是A必须为非奇异矩阵，这两种说法是等价的，而这又等价于A是满秩的，A是满秩又等价于A的行列式值非0，好绕，矩阵就是这样，很多定理其实是等价的，但是你得记住，不然在推导一些定理或公式的时候会犯一些基本的常识性错误。三是矩阵A在高斯消元过程中必须没有出现0主元，也就是说只有在对A进行高斯消元过程中没有出现进行交换这种情况下，A才能分解成L*U这种形式，如果对A进行高斯消元，中间某一步出现0主元，需要进行行交换了，这种情况下就不要想对A进行LU分解啦，因为不满足条件3啊！那么问题来了，假如出现了有0主元这种

3、情况，我又想对A进行LU分解，那应该怎么办？这就引出了带行变换的LU分解，也就是本文的主题。根据书上的定理，对任意一个非奇异矩阵（等价于可逆矩阵）都存在一个置换矩阵P使得P*A可以分解成L*U这种形式，即PA=LU。想想其实这定理也是不言自明的，刚才A不是要进行行变换才能继续高斯消元吗？而LU分解前提又是高斯消元过程中不能出现行交换，那好，我事先对A矩阵在高斯消元过程中需要交换的行给交换掉，形成一个新的矩阵B，那我对B高斯消元那肯定就不会出现需要行交换的情况，这就满足了LU分解第三个条件了，这样B不就可以进行LU分解了

4、吗？是的，PA=LU这种形式的LU分解采用的就是这种思想。那么现在的问题是，怎么在代码中实现对A矩阵的LU分解，并输出P，L，U矩阵呢？我在网上搜了一下，发现结果大都不尽如人意，大多数程序吧只能说做A=LU这种形式的分解，一旦说A不满足条件3，那就死翘翘了，这种程序先不论其能否运行成功，结果是否正确，其鲁棒性也太差了！用个时髦点的词来说就是太low了！通用性太差了！不光如此，代码也没什么注释，可读性很差，让人怀疑是不是写给别人看的，尤其像我这种编程渣渣，看个代码费老半天劲都看不懂说什么。于是，我决定按自己的想法来走。首

5、先从最简单的情况考虑，这也是我们做研究、做学术、做工程必须要时刻牢记心中的一点，很多人喜欢一上来就把所有问题、把最复杂的情况、把方方面面都给考虑到，然后再开始实现他的想法，我自己也有这个习惯，但是，这并不是一个好习惯，一上来就好高骛远、就想着高大上这本质上是一种急功近利的表现，那样的话你会陷入到各种各样的技术细节当中，你会想半天却仍然写不出半点实质性的东西出来，所以最好的办法是，先考虑最简单、最核心的情况，这样不仅大大降低问题的复杂度，同时也为将来进一步扩展程序、解决更复杂的情况打下了一个坚实的基础。在这个例子中，最简

6、单的情况就是矩阵A在高斯消元过程中不需要进行行交换，也就是说A可以分解成A=L*U这种形式。这种情况下，代码如下。functionLUDecomposition(A,n)%Aisthesquarematrix,nistheorderofAL=eye(n);%LettheLmatrixbeanidentitymatrixatfirstfori=1:n-1forj=i+1:nL(j,i)=A(j,i)/A(i,i);A(j,:)=A(j,:)-(A(j,i)/A(i,i))*A(i,:);endendU=A%Abecome

7、sUmatrixafterGausseliminationL可以试着令A=[222;477;61822]，调用函数获得L矩阵为[100;210;341]，U矩阵为[222;033;044]，用笔验算下，这个结果是正确的。代码运行结果如图所示：这部分代码的主要思想是这样的，矩阵A的阶次为n的话，A在高斯消元后有n个非零主元。在消元过程中，A共需要消掉n-1个主元下面所有的元素，注意，第n个主元已经是矩阵的最后一个元素了，它的下面和右边都没有其他元素了，所以不存在说对第n个主元下面所有元素消去的情况。这就获得了我们代码的第

8、一个for循环，从第1行主元开始消元，一直到第n-1行主元。而在获得每一行主元过程中，需要对该行主元下面所有元素都消去，假如现在要获得第i行主元的话，就是说要对该主元所在列的第i+1行到第n行元素都消掉，那么这就获得了我们代码的第二个for循环，从消去第i+1个元素开始一直到第n个元素。前文说过，消掉第（j，i）个位置元素过程中，