倒立摆实验报告.docx

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1、线性控制系统实验报告——倒立摆实验院系航空学院学号姓名冀小龙一、倒立摆模型的建立1.数学模型直线一级倒立摆系统可以抽象成小车和匀质杆组成的系统，忽略空气阻力以及各种摩擦，如下图1-1所示：其中，M表示小车质量，m表示摆杆质量，b表示小车摩擦系数，l表示摆杆转动轴心到杆质心的长度，I表示摆杆的转动惯量，F表示加在小车上的外力，x表示小车的位置，φ表示摆杆与垂直向上方向的夹角，θ表示摆杆与垂直向下方向的夹角（初始方向）。下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正

2、负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。分析小车水平方向所受的力，可得以下方程：由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：（1-1）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：力矩平衡方程如下：合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：（1-2）设θ=π+φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ远远小于1，可以进行近似处理：用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：（

3、1-3）2.传递函数模型对方程组（1-3）进行拉普拉斯变换，得到（1-4）推导传递函数时假设初始条件为0。整理后得到传递函数：其中：3.状态空间方程对方程组(3)解代数方程，得到解如下：整理后得到系统状态空间方程：若考虑到存在以下关系：则有：至此，系统建模完成。4.开环系统仿真倒立摆系统的模型参数如下：小车质量M=1.096Kg，摆杆质量m=0.109Kg，小车摩擦系数b=0.1N/m/sec，摆杆转动轴心到杆质心的长度l=0.25m，摆杆的转动惯量I=0.0034Kg*m*m.分别带入上述模型得：传递函数模型：GS=2.35655ss3+0.

4、s2-27.9169s-2.30942状态空间方程模型：x=0100000000010029.40xxφφ+0103uy=1000010000100001xxφφ+0000u仿真实验基于MATLAB的SIMULINK平台，鉴于本科阶段已经接触并使用本平台，在本实验中不再对其进行详细介绍。1）传递函数阶跃响应曲线、开环波特图、零极点num=[2.356550];den=[10.-27.9169-2.30942];sys=tf(num,den);step(sys)从上图可以看出，开环阶跃响应在仿真结束时刻趋于无穷(即发散)，系统不稳定。由开环波特图

5、可以看出系统无截止频率（与0dB线无交汇），且带宽非常小，系统特性非常恶劣。因此必须加入控制环节进行调节。num=[2.356550];den=[10.-27.9169-2.30942];sys=tf(num,den);[z,p,k]=tf2zp(num,den);spk=zpk(z,p,k)》Zero/pole/gain:2.3565s------------------------------------------(s-5.281)(s+5.286)(s+0.08272)显然，有一极点s=5.281，位于右半平面，系统不稳定。2）状态方程

6、阶跃响应A=[0100;0000;0001;0029.40];B=[0103];C=[1000;0100];D=[00];step(A,B,C,D)单位阶跃响应下，小车位置和摆杆角度均发散，因此需要加入控制环节来改善系统特性。一、控制器设计改善系统性能1.PID控制器设计PID控制是最早发展起来的线性控制策略之一，至今已有半个多世纪的历史，在工程实践领域运用十分广泛。PID控制由比例(Proportional)环节、积分(Integral)环节和微分(Differential)环节组成，其典型结构图下图所示：连续控制系统PID控制规律可以由如下

7、公式表示式中，为比例系数，为积分系数，为微分系数，为积分时间常数，为微分时间常数。对实际系统运用PID控制时，并不是所有参数都必须有，有的采用PI控制，有的采用PD控制，有的采用PID控制，根据系统的具体控制要求来选择组合形式。其中，由PD控制器构成的超前校正，可以提高系统的稳定裕度，并获得足够的快速性，但稳态精度可能会受到影响；由PI控制器构成的滞后校正，可以保证稳态精度，却是以牺牲系统的快速性换取的；用PID控制器可以实现滞后-超前校正兼有的优点，可以全面提高系统的控制性能，但具体实现与调试要复杂一些。本实验中加入PID控制器后的SIMUL

8、INK模型如下：通过不断尝试整定PID参数，得到以下3组比较满意的参数以及相应的波形图。1）KP=100,Ki=800,Kd=10时，阶跃响应波形如下