《点集拓扑学》第7章§7.1紧致空间.doc

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1、第7章　紧致性§7.1　紧致空间　　本节重点：　　掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）；　　掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的．　　在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的Heine－Borel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的

2、每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3中我们将要推广这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中．　　定义7.1.1　设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间．　　明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间．　　例7.1.1　实数空间R不是一个紧致空间．这是因为如果我们设　　A＝{（－n，n）R

3、b∈Z+},则A的任何一个有限子族　　{},由于

4、它的并为　　(-max{},max{})　　所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖．　　定义7.1.2　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集．　　根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要的．　　定理7.1.1　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集

5、．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）　　证明　必要性设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集,A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成．则容易验证集族A}也是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成．因此A有一个有限子覆盖，设为　　{},于是A的有限子族覆盖Y．　　充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖．设A是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成．则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得A=∩Y．因此A}

6、是由X中的开集构成的Y的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为　　{}　　此时易见A的子族{｝覆盖Y．这证明Y是X的一个紧致子集．　　下面介绍关于紧致性的一个等价说法．　　定义7.1.3　设A是一个集族．如果A的每一个有限子族都有非空的交（即如果是A的一个有限子族，则），则称A是一个具有有限交性质的集族．　　定理7.1.2　设X是一个拓扑空间．则X是一个紧致空间当且仅当X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．　　证明　:设X是一个紧致空间．用反证法．设F是X中的一个具有有限交性质的闭集族．设F

7、≠．如果　　，则令A={∈F}．由于　　　　所以A是X的一个开覆盖．于是A有一个有限子覆盖，设为{}．从而　　　　这说明F不具有有限交性质．矛盾．　　“”，设X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．为证明X是一个紧致空间，设A是X的一个开覆盖．我们需要证明A有一个有限子覆盖．如果A=，则，这蕴涵X=以及A的每一个子族都是X的覆盖．以下假定A≠．此时F={

8、A∈A}便是X中的一个非空闭集族，并且　　因此，它不具有有限交性质．也就是说，它有一个有限子族其交为空集．设F的这个有限子族为{}，则　　

9、是X的一个有限子覆盖．　　如果B是紧致空间X的一个基，那么由B中的元素构成的X的一个覆盖当然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖．下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖．　　定理7.1.3　设B*是拓扑空间X的一个基，并且X的由B*中的元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖．则X是一个紧致空间．　　证明　A*　设是X的一个开覆盖．对于每一个A∈A*存在B*的一个子族使得　　　　令由于　　　　故是一个由B*的元素构成的X的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为

10、,对于每一个，i=1,2,…，n，　　于是对于A*的有限于族{}有　　　　也就是说A*有一个有限子覆盖{}．这证明X是一个紧致空间．　　定理7.1.4　设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是X的一个紧致子集，则f（A）是Y的一个紧致子集．　　证明　设C*是f（A）的一个覆盖，它由Y中的开集组成．对于每一个C∈C*，由于f是一个连续映射，（C）是X中的一个开集　　　　所以A＝{(C)

11、C∈C*}是A的一个开覆盖．由于A是X的一个紧致子集，所以A有一个