资源描述：
《求极限的13种方法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。n22例1、求极限lim(1a)(1a)...(1
2、a)，其中a1n分析由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。n22解因为(1a)(1a)...(1a)1n22=(1a)(1a)(1a)...(1a)1a1222n=(1a)(1a)...(1a)1a1n12=(1a)1a当n时，2n1,而a1，故nn1221a20,从而lim(1a)(1a)...(1a)=1an二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯mx1例2、求极限lim，其中m,n为正整数。x1nx10分析这是含根式的（）型未定式，应先将其利用变量代换进行化0简，再进一步计算极限。1mn解令tx,则当x1时，t1nn1n2n1n2t1(t1)(tt...1)tt...1n原式=limlimmm1m2m1m2t1t1t1(t1)(tt...1)tt...1m三、利用对数转换求极限vlnuv利用对数转换求极限主要是通过公式ue,进行恒等变形，特别v(u1)v的情形，在（1）型未定式时可直接运用ue2cscx例3、求极限lim(cosx)xo12sinx212lim(cosx1)cscxx0s
4、in2x2解原式=limeeexo四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。limn!例4、求极限nnn分析当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。n!12n1n1解因为o，nnnnnnnlimn!且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以=0nnn五、利用单调有界准则求极限利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯xn1f(xn)的数列极限。在确定limxn存在的前提下，可由方程A=f(A)n解出A，则l
5、imx=A。nn1a例5、设a0,x10,xn1(3xn3)，（n=1,2,⋯）,求极限limxn。4xnn分析由于题中并未给出表达式，也无法求出，故考虑利用单调有界准则。1aa0,x0,xx解由1n1(3n3)易知xn0。4xn根据算术平均数与几何平均数的关系，有1aa4x(xxx)4xxxan1nnn3nnn34xnxn4所以，数列4axn有下界a，即对一切n1,有xnxn11a1a又(34)(3)1x4x4ann所以xnxn1xn,即数列单调减少。由单调有界准则知数列有极限。4现设limxn=A,则由极限的保号性知Aa0.n1a1a对式子xn1(3xn3)两边同
6、时取极限得A(3A3)4xn4A44解得A=a,即limxn=a（已舍去负根）n六、利用等价无穷小求极限利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法，也是最为简便、快捷的方法。学习时不仅要熟记常用的等价无穷小，还应学会灵活应用。同时应注意：只有在无穷小作为因式时，才能用其等价无穷小替换。3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯sinsin(x1)例6、求极限limx1lnx分析此题中sin(x-1),sinsin(x-1),lnx均为无穷小，而均作为因式，故可以利用等价无穷小快速求出极限。解当x1时，x10,
7、则sinsin(x1)~sin(x1)~x1,lnxln(1x1)~x1x1故原式=lim1x1x1七、利用导数定义求极限f(x0a)f(x0b)利用导数定义求极限适用于lim型极限，并且需要(ab)0ab满足f'(x0)存在。1sin(a)例7、求nn。lim[]，其中0a1nsinavlnuv分析初步可判断此题为（1）型未定式，先通过公式ue,进行恒等变形，再进一步利用导数定义求得极限。1sin(a)1nsina()limnln[]nnnsina解lim[]=ensina11sin(a)lnsin(a)lnsina而limnln[n]limnns
