第11章向量代数和空间解析几何MATLAB求解.ppt

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1、第11章向量代数与空间解析几何MATLAB求解编者Outline11.1向量及其线性运算11.2数量积、向量积与混合积11.3曲面及其方程11.4空间曲线及其方程11.5平面及其方程11.6空间直线及其方程11.1向量及其线性运算1.向量的概念客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等等，这一类量叫做向量（或矢量）。绘制向量的关键是其表示方向的箭头2.向量的模、方向角向量的模与两点间的距离：点A和B间的距离就是向量的模，因此点A和B间的距离方向角与方向余弦：非零向量与三条坐标轴的夹角称为向量的方向角。11.2数

2、量积、向量积与混合积1.两向量的数量积我们有时要对两个向量和作这样的运算，运算的结果是一个数，它等于及它们的夹角的余弦的乘积。我们把该乘积叫做向量和的数量积，记作2.两向量的向量积设向量由两个向量和按下列方式定出：的模:，其中为a和b的夹角；c的方向垂直于a和b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向b来确定，那么，向量c叫做向量a和b的向量积，记作。3.向量的混合积设已知三个向量a、b和c，如果先作两向量a、b的向量积，把所得到的向量与第三个向量c再做数量积，这样得到的数量叫做三向量a、b和c的混合积，记作11.3曲面及其方程1.曲面方程的概念如果

3、曲面S与三元方程有下述关系：曲面S上任一点的坐标都满足上述方程；不再曲面S上的点的坐标都不满足上述方程，那么，上述方程就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形。2.旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。图旋转曲面在曲线的方程中将改成，便得曲线绕轴旋转所成的旋转曲面的方程。同理，曲线绕轴旋转所成的旋转曲面的方程为3.柱面一般的，直线L沿定曲线C平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线。如图1所示。4.二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲

4、线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面，而把平面称为一次曲面。二次曲面有九种。如图2所示。图1MATLAB绘制抛物柱面图2二次曲面11.4空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程空间曲线可以看做两个曲面的交线，设和，是两个曲面的方程，它们的交线为C。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足上述方程组。因此，曲线C可以用上述方程组来表示，而该方程组即成为空间曲线C的一般方程。2.空间曲线的参数方程空间曲线C的方程除了一般方程之外，也可

5、以用参数形式表示，只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数：当给定时，就得到曲线C上的一个点随着t的变动便可得曲线C上的全部点上述方程组叫做空间曲线的参数方程。3.空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为上述方程组消去后所得的方程为该方程表示一个母线平行于z轴的柱面。显然，该柱面必定包含曲线C。以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面，投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面的投影曲线，或简称投影。如图所示。图空间曲线在坐标面上的投影11.5平面及其方程1.平面的点法式方程由平面上一点与及它的一个法

6、线向量确定的该平面的方程就是平面的点法式方程。已知平面上一点和它的一个法向量设是平面上的任一点，则有2.平面的一般方程由于平面的点法式方程是的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一平面都可以用三元一次方程来表示。任一平面都可以用一个三元一次方程表示，而该方程则称为平面的一般式方程。3.平面的夹角两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。两平面的夹角可由下面的公式来确定11.6空间直线及其方程1.空间直线的一般方程空间直线L可以看做是两个平面和的交线。两个平面的方程如果为和那么表示该直线的方程组为：该方程组叫

7、做空间直线的一般方程。2.空间直线的对称式方程和参数方程直线L上一点和它的方向向量已知，设点是直线上的任一点，则该方程组叫做直线的对称式方程或点向式方程。设那么上述方程组叫做直线的参数方程。3.直线的夹角两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。两直线的夹角可由以下公式来确定，为两直线夹角，两直线方向向量分别为和4.直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为。设直线的方向向量为，平面的法线向量为，则有谢谢大家！