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1、该如何分解速度？——谈用微元法理解速度的分解问题江苏省南菁高级中学冯德强（江苏省江阴市214400）在中学物理中，往往遇到一些常规方法难以解决的问题。如研究对象非理想物理模型（如流体、一般曲线）；问题中所涉及的物理量是非线性变量（如引力势能的推导），无法用初等数学进行计算。等等，这时，可以采用微元法。而在现行的《普通高中课程标准实验教科书》（人教版）中，也多次出现了微元思想。因此，笔者认为在教学中，应当帮助学生建立用微元思想解决问题的方法。微元法的中心思想即：化曲为直、化变为恒。将所研究的对象或涉及的物理过程，分割成许多微小单元，从而将非理想物理模型变成理想模型；将非线性变量变成线性变

2、量、甚至常量。然后用常规方法进行分析和讨论。微元法在物理学几乎所有的分支中均有应用，本文讨论用微元法理解速度的分解问题。在运动的分解教学中，学生常对该如何分解速度搞不清楚、或很难理解。其实我们可以从瞬时速度的概念入手，即，找到经过极短时间内的位移关系就可以找到速度关系。一、问题的提出vBABABA如图1，光滑细棒穿入A、B两个相同的刚性小球，两根一样长的轻细线与C球相连，当细棒与细线夹角为θ时，A、B速度大小为V，求C球的速度VC。vvθθθ图3图2图1学生在解这道题目时，由于理解不透彻，往往会有如图2、图3两种分解的方法。而得到两种不同的答案。图2中：VC=2V1sinθ=2Vcos

3、θsinθ=Vsin2θ；图3中：VCsinθ=Vcosθ，得VC=Vcotθ。那么，哪一个才是正确的答案呢？二、问题的还原我们先来一个基本模型：如图4，均匀光滑细棒AB，A、B两端分别靠在光滑墙和地板上，由于光滑，棒将开始滑动，当棒与墙的夹角为θ时，A端速度为V，问此时B端速度多大？分析与解：用微元思想来理解。设经过极短时间，AB运动至A‘B’。如图5，交点为C。在AB上取一点A1，在A‘B’上取一点B1，使A‘C=A1C，B’C=B1C。由于时间很短，所以角C很小。∠CA1A‘=∠CA’A1=∠CB1B‘=∠CB’B1=900。∠BAO≈∠B‘A’O=θ3，AA1=AA‘cosθ，

4、B’B1=B‘Bsinθ。由于棒的长度不变，易知AA1=B’B1。所以B‘B=AA‘cotθ，得VB=Vcotθ。三、问题的解决现在我们来看原题，由于对称性，C球只能在竖直方向运动。设经过经过极短时间，系统运动至如图6的位置。用以上完全相同的方法。易得VC=Vcotθ。那么，图2的方法问题在哪儿呢？其实将VC分解成沿两根细线方向，也可以做。但是这两个分速度并不等于A球在线方向的速度。设C球沿线方向的分速度为V2。应有V1=V2+V2cos2（900—θ）=V2（1—cos2θ）=2V2sin2θ，而V1=Vcosθ，VC=2V2sinθ。联立以上各式可得VC=Vcotθ。小结：绳子连接

5、的两个物体速度的关系是：将速度分解成沿绳方向与垂直绳子方向。其中沿绳方向速度相等。四、问题的延伸如图7，有人用恒定的速度v0拉绳使船靠岸，试求当绳与竖直方向夹角为θ时船的速度大小。分析与解：将船的速度分解为分解成沿绳方向与垂直绳子方向。vsinθ=v0，得v=v0/sinθ。本题可延伸一下，求此时船的加速度。（已知岸高h）由加速度的定义式，找到经过极短时间内的速度变化就可以求得加速度。如图8，取一小段时间微元△t，船头从点向左移至点。绳子绕滑轮转过一个小角度△θ。船速，则速度增量，而。由加速度的定义式，3得。五、实题演练1、直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线C

6、D以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图9所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向。2、两只小环O和O’分别套在静止不动的竖直杆AB和A’B’上，一根不可伸长的绳子，一端系在A’点上，绳子穿过环O’，另一端系在环O上，若环O’以恒定速度V’沿杆向下运动，∠AOO’＝α.如图10。求环O的运动速度为多大？附：参考答案1，。2，3