第三讲函数的方程与迭代.doc

《第三讲函数的方程与迭代.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三讲　函数的方程迭代1、函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M上并在M上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下：f(1)(x)=f(x)(x∈M)f(n)(x)=f(f(n-1)(x))(x∈M)(n≥2)f(n)(x)称为函数f(x)的n次迭代。有时还规定f(0)(x)=f(x)(x∈M)2、不定方程有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把分给大儿子，分给二儿子，分给小儿子，应该怎样分呢？这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把分给大儿子，分给二儿子，分给小儿子，应该怎样分

2、呢？问题：一个老人有n头马，他打算把分给大儿子，分给二儿子，分给小儿子，并满足A

3、n+1,b

4、n+1,c

5、n+1,(++)(n+1)=n问老人的马的匹数n有多少种可能分法？显然就是求方程++=满足条件a

6、n+1,b

7、n+1,c

8、n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。3、高斯函数[x]定义：[x]－表示不超过x的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x的小数部分函数y

9、={x},{x}=x－[x]。图象：xyo123321-1-1-2-2-3-3xyo123321-1-1-2-2-3-3y=[x]y={x}性质：①y=[x]的定义域为R，值域为Z，y={x}定义域为R，值域为[0,1)，是周期函数。①对任意实数x，有x－1<[x]≤[x]+1；②[x]是不减函数，即当x≤y时，有[x]≤[y]；③[x+m]=[x]+mÛm∈Z；④对一切实数x,y有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1,{x+y}≤{x}+{y}；⑤若x≥0,y≥0，则[xy]≥[x]·[y]；

10、⑥[－x]=⑦若n∈N*,x∈R，则[nx]≥n[x]；⑧=，其中x∈(0,+∞),n∈N*；⑨把n!中素数p的最高次记为p(n!)，则p(n!)=++…+，这里pk≤n≤pk+1；取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。而在计算机的理论上，高斯函数具有特别重要的地位。由于它知识少，而技巧性强，所以经常出现在国际、国内的竞赛的试卷上。一、填空题1．已知f(x)+2f()=3x，则f(x)的解析式为　　　　　　。解析：f(x)=-x2．已知f(x)=ax2+bx+

11、c，若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)=。解析：f(x)=x2+x二、解答题3．设f(x)=x2+px+q,A={x

12、x=f(x)},B={x

13、f[f(x)]=x}。①求证：AÌB；②如果A={－1,3}，求B。解析：①设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A∵A={x

14、x=f(x)}∴x0=f(x0)Þf[f(x0)]=f(x0)=x0Þx0∈B∴AÌB②∵A={－1,3}={x

15、x2+px+q=x}={x

16、x2+(p-1)x+q=0}∴ÞÞf(x)=x2-x-3∵f[f(x)]

17、=xÞx4-2x3-6x2+6x+9=0Þ(x2-2x-3)(x2-3)=0Þx=-1或3或或-∴B={-1,3,-,}。4．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立：①f(x+5)≥f(x)+5；②f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1－x，求g(6)的值。解析：反复利用②∵f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5(*)∴f(x+5)=f(x)+5∴由(*)可以得到f(x+1)=f(x)+1∴g(

18、6)=f(6)+1-6=[f(1)+5]-5=f(1)=15．已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x有等根。①求f(x)的解析式；②是否存在实数m，n(m

19、x②f(x)=-(x-1)2+1≤1∴4n≤1Þn≤∵抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1∴n≤时，f(x)在[m,n]上为增函数若满足题设条件的m,n存在，则Þ∵my时，f(x)>