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《高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习3-2-2平面的法向量与平面的向量表示.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一、选择题1．下列命题中正确的是( )A．如果一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直B．如果一条直线与平面的一条斜线垂直，则它与斜线在平面上的射影垂直C．如果一向量和斜线在平面内的射影垂直，则它垂直于这条斜线D．如果一非零向量和一平面平行，且和一条斜线垂直，则它垂直于斜线在平面内的射影[答案] D[解析] 由三垂线定理知D成立．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACB1的一个法向量为( )A. B.C.D.[答案] A3．点A(a,0,0)，B(0，b,
2、0)，C(0,0，c)，则平面ABC的一个法向量为( )A．(bc，ac，ab) B．(ac，ab，bc)C．(bc，ab，ac)D．(ab，ac，bc)[答案] A[解析] 设法向量为n＝(x，y，z)，则AB·n＝0，·n＝0，则∴n＝(bc，ac，ab)．故选A.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．ACB．BDC．A1DD．A1A[答案] B[解析] 直线CE在平面AC内的射影为AC，又AC⊥BD，∴BD⊥CE，故选B.5．正方体AC1中，E，F分别是AB，CD的中点，则下列
3、直线中不互相垂直的是( )A．B1C与C1D1B．D1B与B1CC．D1B与EFD．A1B与B1C1[答案] C[解析] D1B与EF所成角等于∠D1BC，其余弦值为，故选C.6．若平面α、β的法向量分别为u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，则( )A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确[答案] C[解析] ∵u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，∴u与v不平行且u与v不垂直，故选C.7．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝－(2,4,2)，则平面α与平面β( )A．平行B．垂
4、直C．相交D．不能确定[答案] A[解析] 由v1∥v2故可判定α∥β.8．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )A．2 B．－4 C．4 D．－2[答案] C[解析] ∵α∥β，∴＝＝，∴k＝4，故选C.9．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为u＝(4,0,8)，则( )A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交[答案] B[解析] ∵u＝－4a，∴u∥a，∴a⊥α，∴l⊥α.故选B.10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的
5、中点，则( )A．面AED∥面A1FD1B．面AED⊥面A1FD1C．面AED与面A1FD相交但不垂直D．以上都不对[答案] B[解析] 以D为原点，、，分别为x，y，z建立空间直角坐标系求面AED的法向量n1与面A1FD1的法向量n2.∵n1·n2＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.二、填空题11．若直线l与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1，0,2)，则直线l与β的位置关系是________．[答案] l⊥β[解析] ∵a∥b，∴l⊥β.12．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m＝___
6、_____.[答案] －8[解析] 设a＝(2，m,1)，b＝(1，，2)．∵l∥α，∴a⊥b，∴2＋m＋2＝0，∴m＝－8.13．已知正四棱锥(如图所示)，在向量－＋－，＋，＋，＋＋＋中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是________．[答案] －＋－[解析] ∵－＋－＝＋＝0，不能作为这个平面的法向量，对其它三个化简后可知均与共线．而PO⊥平面ABCD，它们可作为这个平面的法向量．14．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．[答案] 2[解析]
7、 以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，设Q(1，x,0)，P(0,0，z)，＝(1，x，－z)，＝(－1，a－x,0)．由·＝0，得－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0.当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，Q只有一个．三、解答题15．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2)，B(4,2,0)，C(2,4,0)，求平面ABC的单位法向量．[解析] ＝(4,2，－2)，＝(2,4，－2)设n＝(x，y，z)是平面ABC的单位法向量，则有⇒取z>0，得x＝y＝，z＝.∴n＝(
8、1,1,3)．16．如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD的中点
