每日一讲 期中复习 构造圆模型 教师版.doc

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1、每日一讲期中复习构造圆模型1．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是　150　度．【解答】解法1：∵OA=OB=OC，∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，∵∠ABC=∠OBA+∠OBC=70°，∴∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=140°，即∠OAB+∠ABC+∠OCB=140°，又∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，即∠ABC+∠OCB+∠OCD+∠ADC+∠DAO+∠OAB=360°，∵∠AD

2、C=70°，∠OAB+∠ABC+∠OCB=140°，∴∠DAO+∠DCO=360°﹣140°﹣70°=150°．解法2：由AO=BO=CO，可知O是三角形ABC的外心，∠ABC是圆周角，∠AOC是圆心角，所以∠AOC=2∠ABC=140°，又∠D=70°，所以∠DAO+∠DCO=360°﹣140°﹣70°=150°．故答案为：150．2、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连

3、接PQ，OC，证明OC平分∠AOE．∵BC∥DE，∴∠CBE=∠BED，∵∠CBE=∠DAE，∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，同理可得出∠AOE=120°，∵D，O，C，E四点共圆，∴∠OCD=∠OED，∴∠OAC=∠OCD，∴∠DCE=∠AOC=60°，∴OC平分∠AOE，故⑤正确；故答案为：①②③⑤．3、如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx（k≠0）经过点（a，a）（a＞0），线段BC的两个端点分别在x轴与直线y=kx上（点B、C均与原点O不重合）滑动，且BC=2，分别作BP⊥x轴

4、，CP⊥直线y=kx，交点为P．经探究，在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值　　．【解答】解：∵直线y=kx（k≠0）经过点（a，a）（a＞0），∴a=ka，∴k=，∴∠BOC=60°，又由题意可知∠PCO=∠PBO=90°，∴∠PCO+∠PBO=180°，∴O、B、P、C四点共圆，OP为直径，如图，设圆心为D，分别连接CD和BD，过D作DE⊥BC于点E，则BE=BC=1，∵∠BDC=2∠BOC=120°，∴∠BDE=60°，∴DE=BD，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD2=DE2+B

5、E2，即BD2=BD2+1，解得BD=，∴OP=2BD=，故答案为：．4、如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是　4　．【解答】解：连接CO，MO，∵∠CPO=∠CM0=90°，∴C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径，连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大．即PMmax=4．5、如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0）

6、，点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB=30°的点P有　无数　个；（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．【解答】解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB=∠ACB=×60°=30°．∴使∠APB=30°的点P有无数个．故答案

7、为：无数．（2）①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5．∴AB=4．∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2．∴OG=OA+AG=3．∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4．∴CG===2．∴点C的坐标为（3，2）．过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，∵点C的坐标为（3，2），∴CD=3，OD=2．∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．∵CP2=CA=4，C

8、D=3，∴DP2==．∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=．∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）．综上所述：满足条件的点P的坐标有：（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH=得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．