数值计算方法第3章 ppt课件.ppt

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1、第3章线性方程组求解的数值方法1n阶线性代数方程组的一般形式解线性代数方程组的数值解法有：①直接法，②迭代法。在没有舍入误差的情况下，经过有限次运算可以得到方程组的精确解的方法。线性代数方程组的直接解法/*DirectMethodforSolvingLinearAlgebraicSystems*/求解Cramer法则:所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+nn=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！直接法§3.1Gauss消去与矩阵LU分解一Gauss消去1直接法的关键思想如果方程组是“上三角方程组”或“下三角方程组”就可以很容易地求出方程组的解。因此，直接法的关键

2、思想就是如何把一般方程组约化为上/下三角方程。属于解方程的直接法2上三角方程组与回代过程3下三角方程组与前推过程4Gauss消去过程则Gauss消去过程如下：该Gauss消去法为顺序高斯消去法forforforGauss法的消元过程回代过程顺序高斯消去法必须保证第k步的akk≠0，因为它在消去过程和回代过程中起关键作用，所以称它为主元素。例：用基本Gauss消元法求解下列方程组解：增广矩阵基本Gauss消元法的工作量消元过程：回代过程：加减法的次数乘除法的次数基本Gauss消元法的实现条件全不为零的充要条件是的顺序主子式都不等于零，即小主元可能导致计算失败例：在8位制计算机上

3、解方程组要求用Gauss消去法计算。8个解：主元素要作除数，其绝对值相对于被除数过小会影响到计算的精度，所以，我们可以采用5、列主元Gauss消去法解方程组除了“列主元消去法”，还有“全主元消去法”，但后者计算量过大，一般不用。思想每次消元之前，在剩余元素中选择绝对值最大的非零元素作为主元，然后经过换行换到主元位置列主元消去法/*ColumnPivotingStrategies*/Stepk：第k步首先选择主元寻求满足然后交换矩阵的第行和行，再进行消元过程算法:Gauss列主元消去算法求方程组Ax=b的解.输入:增广矩阵An(n+1)=（A

4、b）.输出:近似解xk=ak,n

5、+1(k=1,2,…,n)或失败信息.消元过程fork=1,2,…,n-1doStep1-Step4Step1寻找行号ik,使得Step2如果，则交换第k行和ik行；否则转Step7算法:Gauss列主元消去算法（续）Step3fori=k+1,…,n计算Step4forj=k+1,…,n+1计算回代过程Step5Step6fori=n-1,…,1计算Step7Output(系数矩阵奇异);/*不成功*/STOP.例：用Gauss列主元消去法求解下列方程组解：首先写出增广矩阵Step1消元Step2消元全主元消去法/*CompletePivotingStrategies*/S

6、tepk：第k步选择主元寻求和满足然后交换矩阵的第行和行，第列和列记录交换信息二LU分解1矩阵的三角分解对方程组Ax=b的顺序Gauss消去过程的结果，就是把矩阵A分解成两个三角距阵L和U的乘积：A=LU。利用这个特点可以进行线性方程组的直接三角分解法。解方程组的直接三角分解法有3种形式：（1）A=LU（2）A=L’U’（3）A=LDU单位下三角阵上三角阵下三角阵单位上三角阵单位下三角阵对角阵单位上三角阵A的Doolittle分解A的Crout分解A的LDU分解2解方程组的直接三角分解法Ax=bLUx=bDoolittle分解法本质它是基本Gauss消元法的一种等价变形Gau

7、ss消元法的矩阵形式/*MatrixForm*/为上三角矩阵其中为单位下三角矩阵分解为单位下三角和上三角矩阵的乘积forforfor计算的k列计算的k+1行矩阵分解的实际计算公式：function[L,U,flag]=LU_decom(A)[n,m]=size(A);ifn~=merror('TherowsandcolumnsofmatrixAmustbeequal!');return;endL=eye(n);U=zeros(n);flag='OK';fork=1:nforj=k:nz=0;forq=1:k-1z=z+L(k,q)*U(q,j);endU(k,j)=A(k,j)

8、-z;endifabs(U(k,k))