第1章 函数、极限与连续ppt课件.ppt

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1、医学高等数学数学与计算机教研室韩新焕7/31/20211第一章函数、极限与连续函数、极限与微积分之间的关系7/31/202121.1 函数一.常量与变量在某一变化过程中始终保持相对静止状态的量称为常量；时时处于变化着的量为变量。前者记为a,b,c等，后者记为x,y,t等。1.1.1函数的概念7/31/20213二、函数的概念定义1设在某个变化过程中存在两个变量x、y,若对于某一非空数集中的每一个x值,按照某一确定的关系f都有唯一一个实数y与之对应,则称变量y是变量x的函数,记作：yf(x)，xD定义域自变量因变量f(D)称为值域函数图形：7/31/20214理解：函数的定义有两个

2、要素：一、自变量x必须有明确的定义域D；二、在定义域范围内,变量x与y有确定的对应关系,这两个要素决定值域R。如果两个函数相等,则这两个要素必须完全相同。思考：两个函数y2(x1)与y2(x21)/(x1)是否相等？7/31/20215约定：定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值。7/31/20216例1.1.1求下列函数的定义域因此f(x)的定义域为：7/31/20217例1.1.2已知函数f(x)x21,求f(2),f[f(x)]。解：7/31/20218例1.1.3已知函数f(x1)x23x2,求f(x)。解：令x1t,则xt1,将

3、其代入原式,得7/31/20219函数举例一例1.1.4函数y2。定义域D(,),值域Rf{2}例1.1.5绝对值函数例1.1.6判断下面函数是否相同,并说明理由7/31/202110函数举例二例1.1.7符号函数例1.1.8狄利克雷函数例1.1.9取整函数y[x],其中[x]为不超过x的最大整数7/31/202111邻域是指如果x0是实数轴上一点,为正实数,则开区间x0

4、2，当x1f(x2))，则称函数在区间I上是单调增加（或单调减少）的。单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数。7/31/202113单调函数图像的特点是：单调增加函数对应的曲线随自变量x的逐渐增大而上升；单调减少函数对应的曲线随自变量x逐渐增大而下降。7/31/202114二、奇偶性设函数f(x)的定义域为D,如果对D内任意一点x(xD),都满足f(x)f(x),则称函数f(x)在D内是偶函数;若函数f(x)对定义域D内任意一点x,都满足f(x)f(x),则称函数在D内是奇函数。函数yx2是在其定义域(,)上

5、是偶函数;函数ysinx是在其定义域(,)上是奇函数;函数ysinxcosx在其定义域(,)上非奇非偶。7/31/202115偶函数的图像是关于y轴对称奇函数的图像是关于原点对称7/31/202116函数举例三例1.1.10判断函数的奇偶性7/31/202117函数举例四例1.1.11判断函数的奇偶性7/31/202118三、有界性设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数M,使得对于D中某一个子区间I内任意一点x,总有

6、f(x)

7、M(即Mf(x)M),则称函数在I上是有界的，否则是无界的。7/31/202119如sinx、cosx对区间(,)

8、上任意一点x,存在M1,使得

9、sinx

10、M,

11、cosx

12、M所以它们在区间(,)上都是有界函数。lnx在区间(0,)上为无界函数,因为找不到那样一个正数M,使

13、lnx

14、M成立。注意：(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的。(2)有界与否是和I有关的。7/31/202120如f(x)1/x在开区间(0,1)上是无界的,但在闭区间[1,2]上却是有界函数,因为在此区间上能找到M1,使当x[1,2]时

15、1/x

16、M成立。7/31/202121四、周期性设函数的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对于任意一点xD,f(xT)f(x)恒成立,则称f(x)在D

17、上为周期函数,T称为周期。通常所说的周期是指最小正周期。周期函数的图像特点是在这函数的定义域内,每个长度为周期T的区间上,函数所对应的曲线有相同的形状。7/31/202122课堂练习2.*用分段函数表示函数3.*判别函数的奇偶性7/31/202123解2用分段函数表示函数7/31/202124解3判别函数的奇偶性7/31/2021251.1.3初等函数一、基本初等函数基本初等函数通常是指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。7/31/20212