那么是的线性变换.doc

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1、1）在中，令，那么是的线性变换。答：是的变换，所以是的线性变换，结论正确。2）线性变换必把线性无关向量组变成线性无关向量组。答：线性变换把线性相关向量组变成线性相关向量组，可逆线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组。但是，不是所有线性变换都把线性无关向量组变成线性无关向量组。例如，当是零变换时，把所有向量都变成零向量，把线性无关向量组变成线性相向量组。所以结论错。3）设是的线性变换，是的一组基，则也是的一组基。答：结论错。因为是的一组基，线性无关，但是不一定线性无关，所以不一定是的一组基。4）设是的线性变换，则和都是子空间。答：结论正确。和都是的子空

2、间。所以是子空间。所以是子空间。5）满足的向量必是的属于的特征向量。答：结论错。因为时满足，但是不是的属于的特征向量。6）线性变换的特征值与在某组基下矩阵的特征值完全相同。答：结论错。例如是的旋转角为的旋转变换，则是的线性变换，在基下矩阵矩阵的特征值是但是它们都不是线性变换的特征值。7)是零变换。答：结论正确。因为是子空间，是的线性变换。所以是零变换。8）矩阵与矩阵相似。答：结论正确。设是线性空间的一组基，在基下，与矩阵对应的线性变换为，即于是由于矩阵是同一个线性变换在两组基下的矩阵，所以相似。8)设4是矩阵的一个特征值，则的另外两个特征值之和为3.答：

3、结论正确。设是的特征值，则已知4是矩阵的一个特征值，不妨设为则10)矩阵A的特征值为-1，2，3，则

4、A

5、=-6.答：结论正确。设是的特征值，则2．设V是数域P上的维线性空间，A是V的线性变换，且，证明证1）证法二因为互素，存在使同理可证2）成立。3）3．设是线性变换A的特征值，证明证4．设，且1）证明：A必有特征值；2）求A的属于的一个特征向量。证1）所以A有特征值.2）所以是A的属于的一个特征向量。5．设A是V的线性变换，W是A-子空间，则W是子空间.证因为W是A-子空间，假定则根据数学归纳法原理，对任意，W是子空间。