_动态几何与函数问题(含答案).doc

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1、动态几何与函数问题已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．（1）求证：与的面积相等；（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）证明：设，，与的面积分别为，，由题意得，．，．，即与的面积相等．（2）由题意知：两点坐标分别为，，(想不到这样设点也可以直接用X去代入,麻烦一点而已)，．当时，有最大值．．（3）解：设存在这样

2、的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．由题意得：，，，，．又，．(将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中)，，．，，解得．．存在符合条件的点，它的坐标为．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

3、（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。【解析】解：（1）如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。ABMCDPQ图1∴PM＝DC＝12∵QB＝16－t，∴S＝×12×(16－t)＝96－t（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。热以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2＝BQ2得，解得t＝；②若BP＝BQ。在Rt△PMB中，。由BP2＝BQ2得：

4、即。由于Δ＝－704＜0∴无解，∴PB≠BQ…③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得整理，得。解得（舍）（想想看为什么要舍？函数自变量的取值范围是多少？）综合上面的讨论可知：当t＝秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。（3）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图2，过点Q作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，PAEEDCQBO图2得，即。解得t＝9所以，当t＝9秒时，PQ⊥BD。【例4】ACBPQED在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达

5、点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 

6、时，请直接写出t的值．AC)BPQD图3E)F解：（1）1，；（2）作QF⊥AC于点F，如图3，AQ=CP=t，∴．由△AQF∽△ABC，，得．∴．ACBPQED图4∴，即．（3）能．①当DE∥QB时，如图4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABC，得，ACBPQED图5即．解得．②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．此时∠APQ=90°．由△AQP ∽△ABC，得，AC(E))BPQD图6G即．解得．（4）或．【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．

7、方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．AC(E))BPQD图7G，．由，得，解得．方法二、由，得，进而可得，得，∴．∴．②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．，【例5】如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．（1）求点到的距离的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；ABCDERPHQ（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．解：（1），，，．点为中点，．，．，，．（2），．，，，，即关

8、于的函数关系式为：．（3）存在，分三种情况：ABCDERPHQM21①当时，过点作于，则．，，．，，ABCDERPHQ，．ABCDERPHQ②当时，，．③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，．，，．综上