空间几何体的表面积与体积的求法-论文.pdf

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1、叠悟道·解趣通法_空间几何体求法史立霞秦振空间几何体的表面积和体积是立体几就是正四面体的外接球．C何的重要内容之一，表面积表示几何体与外因为正四面体棱长为界接触面的大小，体积反映几何体所占空间1，所以正方体棱长为．的大小．下面结合例题介绍求空间几何体的厶表面积和体积的常用方法，供大家参考．D所以外接球直径2R=43·图2，所以外接球半径R一一、构造法，所以外接球体积为÷兀·()。一譬丌．构造法是指根据条件，构造相应的正方体、长方体、正棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、评注在解决空间几何体问题时，有圆锥、圆台和球等特殊的空间几何体，使复些

2、图形不规则或关系不明显，往往需要根据杂问题简单化的解题方法．题意构造一个特殊的几何体，并将原几何体例1如图1，在等“嵌入”其中，使得图形要素的关系变得清腰梯形ABCD中，AB一晰，问题也就迎刃而解了．2DC：2，DAB=60。，AEB且E为AB的中点，现将图1二、割补法△ADE与△BCE分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合，求折成割补法是指在计算一些不规则的空间几何体的面积或体积时，通过对图形进行合的三棱锥的外接球的体积．理的分割、填补，使图形组合成一个或分解分析由平面图形，知折叠后的几何成几个规则的图形，再计算面积或体积的解体

3、为棱长为1的正四面体；再根据正四面体题方法．与正方体的关系，可以将正四面体“放在”正C方体中．例2如图3，在一个直解如图2，根据题意，在平面图形中，三棱柱(底面为ABC)被CAE：：：EB—BC—CD—DA—ED—EC一1，故一个平面(截面为ABC)所截折叠后得到一个正四面体ACDE，可把它放得到的几何体q-，已知AB图3在一个正方体中．显然就是正方体的外接球一B1C1—1，A1BlC1==：90。，26ilm。誊善蓦蓦菇mj冀薯器量蠢囊誊善悟道·蠢}题通清l_毒薯蛩量薯臻薹薯莹棼霉篝羞AA1—4，BB1—2，CC1—3，求此几何

4、体的点和底面，即以点E，F，G中的任意一点为体积．顶点，它的对面为底面，求三棱锥C一EFG分析根据原几何体的特点，可以分的体积就容易多了．别延长AA，BB，CC，将原几何体补为直解三棱锥G—CEF的底面△CEF三棱柱．11。一2c2的面积为寺×2×2—2，高Gc一÷，因此它厶厶解如图4，分别延长．111CA1A，B1B，G1C至A2，B2，C2，的体积为÷X2X÷一_砉-．因为三棱锥G—o厶o使AA2—2，BB2—4，CC2—3，CCEF与三棱锥C一EFG为同一几何体，所连结A。B，B2C2，C2A，则可1以三棱锥C一EFG的体积

5、为÷．把原几何体补为高为6的直0三棱柱ABC2一A1B1Cl，于图4评注一个几何体的体积或面积的表是c—ec-z1V示方法是不唯一的，等积法就是利用了几何nec2一一。c一1×(丢×体的这一特点，“表示”几何体的体积或面1X1)X6一昔．积，简化解题过程，降低解题难度．总之，．在解决空间几何体问题时，经常评注遇到不规则的几何体，一般通遇到直接求解比较困难的问题，需要转化为过割补的方法解决．解此题时还可过点B作比较容易或比较熟悉的新问题，通过求解新截面BMN∥平面ABC，分别交AA，CC问题，达到解决原问题的目的．于点M，N，这样就

6、将几何体ABC—ABC分解成了一个四棱锥和一个三棱柱，然后利用公式就可求出此几何体的体积．1．如图6，棱台有内切三、等积法球，棱台的上、下底面面积分别为S，S，则棱台的侧等积法是指根据题意，改变顶点、底边面面积为或顶点、底面，利用面积或体积不变的原理，来计算面积或体积的解题方法．图6DpEC1．设内切球球心为O，半方体ABCD一ABCD斗—、l径为R，则棱台的高为2R，则棱台的体积一÷×中，已知cD一CC—liIl2R(s+s+)①．4，CB一1，点E，F，Gl，，⋯⋯{一再以O为顶点，上、下底面及各个侧面为底面，分别为CD，CC

7、，CB———可将棱台分解成若干棱锥，这些棱锥的高都是R，它的中点，求三棱锥C一图5们的体积和等于棱台的体积，即V一÷R(S+S+EFG的体积．S)②．分析若以点C为顶点，平面EFG为n1由①②，得wR(s+S+~／)一÷R(s+s底面，求三棱锥C一EFG的体积则比较困难．若根据长方体棱的垂直关系转化它的顶+S)，所以S一s+s+2~／一(+、／，)．瞬掰z0一m⋯一～黟