2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理教学案理北师大版.doc

《2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理教学案理北师大版.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3讲　定积分与微积分基本定理一、知识梳理1．定积分的概念在f(x)dx中，a，b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫作积分区间，f(x)叫作被积函数，x叫作积分变量，f(x)dx叫作被积式．2．定积分的性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

2、理，又叫作牛顿莱布尼茨公式．其中F(x)叫作f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．常用结论1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.二、教材衍化141．设f(x)＝则f(x)dx的值是

3、(　　)A.x2dx　　　　　B．2xdxC.x2dx＋2xdxD．2xdx＋x2dx解析：选D.由分段函数的定义及定积分运算性质，得f(x)dx＝2xdx＋x2dx.故选D.2．dx＝________．解析：dx＝ln(x－1)

4、＝lne－ln1＝1.答案：13．若(sinx－acosx)dx＝2，则实数a等于________．解析：由题意知(－cosx－asinx)＝1－a＝2，a＝－1.答案：－14．汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是________m.解析：s＝(3t＋2)dt＝1＝×4＋4－

5、＝10－＝(m)．答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)(2)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(　　)(3)若f(x)是奇函数，则f(x)dx＝0.(　　)(4)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的区域面积是(x2－x)dx.(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×二、易错纠偏(1)误解积分变量致误；14(2)不会利用定积分的几何意义求定积分；(3)f(x)，g(x)的图象与直线x＝a，x＝b所围成的曲边图形的面积的

6、表达式不清致错．1．定积分(t2＋1)dx＝________．解析：(t2＋1)dx＝(t2＋1)x

7、＝2(t2＋1)＋(t2＋1)＝3t2＋3.答案：3t2＋32.dx＝________解析：dx表示以原点为圆心，为半径的圆的面积，故dx＝π×()2＝.答案：3．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．解析：由得x1＝0，x2＝2.所以S＝(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝＝－＋4＝.答案：[学生用书P53]　　　　　　定积分的计算(多维探究)角度一　利用

8、微积分基本定理求定积分计算下列定积分：(1)dx；(2)cosxdx；(3)dx.14【解】　(1)因为(lnx)′＝，所以dx＝2dx＝2lnx＝2(ln2－ln1)＝2ln2.(2)因为(sinx)′＝cosx，所以cosxdx＝sinx＝sinπ－sin0＝0.(3)因为(x2)′＝2x，′＝－，所以dx＝2xdx＋dx＝x2＋＝.角度二　利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：(1)dx；(2)(3x3＋4sinx)dx.【解】　(1)根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的(如图中阴影部分)．故dx＝.(2

9、)设y＝f(x)＝3x3＋4sinx，则f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x)，　所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－5，5]上是奇函数．所以(3x3＋4sinx)dx＝－(3x3＋4sinx)dx.所以(3x3＋4sinx)dx＝(3x3＋4sinx)dx＋(3x3＋4sinx)dx＝0.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定

10、理求出各个定积分的值，然后求其代数和．　14[提醒]　当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a