最大流最小割定理.docx

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1、最大流最小割默认分类2010-06-2015:39:10阅读293评论0  字号：大中小 订阅最大流问题最大流问题是一类极为广泛的问题。不仅在交通运输网络中有人流、车流、货物流、供水网络中有水流、金融系统中有现金流、通讯网络中信息流……等。五十年代，Ford(福特)、Fulkerson(富克逊)建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成部分。网络与流的概念对于有向图D=(V,A)，如果V中有一发点vs（亦称源还有一收点（亦称为汇）记为vt其余均为中间点，且对A中的每条弧均有权W(vi,vj)?0（简记为Wij，并称为弧容量），则称这样的赋权有向图D

2、为容量网络，记为D=(V,A,W)。通过D中弧(vi,vj)的物流量fij，称为弧(vi,vj)的流量。所有弧上流量的集合f={fij}称为该网络D的一个流。最大流最小截量定理：   任一网络D中，最大流的流量=最小截集的截量。最大流算法的邻接阵实现1.   最大流最小割定理介绍：把一个流网络的顶点集划分成两个集合S和T，使得源点s∈S且汇点t∈T，割(S,T)的容量C(S,T)=∑Cuv,其中u∈S且v∈T。从直观上看，截集(S,T)是从源点s到汇点t的必经之路，如果该路堵塞则流从s无法到达t。于是我们可以得到下面的定理：最大流最小割定理：任意一

3、个流网络的最大流量等于该网络的最小的割的容量。这个定理的证明这里就不给出了，可以参考图论方面的资料。2.   求最大流的Edmonds-Karp算法简介：若给定一个可行流F=(Fij)，我们把网络中使Fij=Cij的弧称为饱和弧，Fij

4、们可以向这条路径上压入更多的流，使得其中的一条弧达到饱和。这样的路径p叫做可改进路，可压入的流量叫做该可改进路的可改进流量。重复这个过程，直到整个网络找不到一条可改进路，显然这时候网络的流量达到最大。Edmonds-Karp算法就是利用宽度优先不断地找一条从s到t的可改进路，然后改进流量，一直到找不到可改进路为止。由于用宽度优先，每次找到的可改进路是最短的可改进路，通过分析可以知道其复杂度为O(VE2)。Edmonds-Karp算法的伪代码如下：设队列Q--存储当前未检查的标号点，队首节点出队后，成为已检查的标点；path--存储当前已标号可改进路

5、经；repeat      path置空;      源点s标号并进入path和Q;      whileQ非空and汇点t未标号do             begin                    移出Q的队首顶点u;                    for每一条从u出发的弧(u,v)do                           ifv未标号and弧(u,v)的流量可改进thenv进入队列Q和path;             endwhile      if汇点已标号then从汇点出发沿着path修正可改进路的流量;

6、until汇点未标号;Edmonds-Karp算法有一个很重要的性质：当汇点未标号而导致算法结束的时候，那些已经标号的节点构成集合S，未标号的节点构成集合T，割(S,T)恰好是该流网络的最小割；且这样求出的最小割(S,T)中集合S的元素数目一定是最少的。寻找最大流的基本方法是Ford-Fulkerson方法，该方法有多种实现，其基本思想是从某个可行流F出发，找到关于这个流的一个可改进路经P，然后沿着P调整F，对新的可行流试图寻找关于他的可改进路经，如此反复直至求得最大流。现在要找最小费用的最大流，可以证明，若F是流量为V(F)的流中费用最小者，而P

7、是关于F的所有可改进路中费用最小的可改进路，则沿着P去调整F,得到的可行流F'一定是流量为V(F')的所有可行流中的最小费用流。这样，当F是最大流时候，他就是所要求的最小费用最大流。注意到每条边的单位流量费用B(i,j)≥0，所以F=0必是流量为0的最小费用流，这样总可以从F=0出发求出最小费用最大流。一般的，设已知F是流量V(F)的最小费用流，余下的问题就是如何去寻找关于F的最小费用可改进路。为此我们将原网络中的每条弧变成两条方向相反的弧：1。前向弧，容量C和费用B不变，流量F为0；2。后向弧，容量C为0，费用为-B

8、，流量F为0；每一个顶点上设置一个参数CT，表示源点至该顶点的通路上的费用和。如果我们得出一条关于F的最小费用可改进路时，