小波变换入门.doc

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1、第1章连续小波变换信号处理的任务之一是认识客观世界中存在的信号的本质特征，并找出规律。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。从不同的角度去认识、分析信号有助于了解信号的本质特征。信号最初是以时间（空间）的形式来表达的。除了时间以外，频率是一种表示信号特征最重要的方式。频率的表示方法是建立在傅里叶分析（FourierAnalysis）基础之上的，由于傅里叶分析是一种全局的变换，要么完全在时间域，要么完全在频率域，因此无法表述信号的时频局部性质，而时频局部性质恰好是非平稳信号最基本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，在傅里叶分析理论基础

2、上，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换（ShortTimeFourierTransform）或加窗傅里叶变换（WindowedFourierTransform）、Gabor变换、时频分析、小波变换、分数阶傅里叶变换（FractionalFourierTransform）、线调频小波变换等。短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，它的思想是：选择一个时频局部化的窗函数，假定分析窗函数g(t)在一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，移动窗函数，使f(t)g(t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功

3、率谱。短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg不确定准则的限制，时频窗的面积不小于2。这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间

4、与频率分辨率不能同时达到最优。Gabor变换是海森伯不确定准则下的最优的短时傅里叶变换。高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时间分辨率与频率分辨率时的最优窗函数。具有高斯窗函数的短时傅里叶变换就是Gabor变换。与短时傅里叶变换一样，Gabor变换也是单一分辨率的。小波变换使用一个窗函数（小波函数），时频窗面积不变（为零吗？），但形状可改变。小波函数根据需要调整时间与频率分辨率，具有多分辨分析（MultiresolutionAnalysis）的特点，克服了短时傅里叶变换分析非平稳信号单一分辨率的困难。小波变换是一种时间-尺度分析方法，而且

5、在时间、尺度（频率）两域都具有表征信号局部特征的能力，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬间反常现象并展示其成分。所以，小波变换被称为分析信号的显微镜。小波变换不会“一叶障目，不见泰山”，又可以做到“管中窥豹，略见一斑”。但是小波分析不能完全取代傅里叶分析，小波分析是傅里叶分析的发展，而时频分析是一种非线性二次变换，与线性的小波变换相去甚远。对于几种变换的关系，将在本章后面做简单的介绍。几1.1概述1.1.1傅里叶变换傅里叶（Fourier）变

6、换与小波变换从本质上看无非是研究如何利用简单、初等的函数近似表达复杂函数（信号）的方法和手段。1777年以前，人们普遍采用多项式函数P(x)来对信号f(x)进行表征：。1777年，数学家Euler在研究天文学时发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。1807年，法国科学家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f(x)可以表示为系列三角函数之和，即（1.1）其中，。表达式（1.1）可以理解为信号f(x)是由正弦波（含余弦与正弦函数）叠加而成，其中ak，bk为叠加的权值，表示信号在不同频率时刻的谱幅值大小。显然，当信号具有对称性（偶）特征时，bk

7、=0，而当信号具有反对称性（奇）特征时，ak=0，在研究热传导方程的过程中，为了简化原问题，傅里叶建议将热导方程从时间域变换到频率域，为此他提出了著名的傅里叶变换的概念。信号f(x)的傅里叶变换定义为：（1.2）傅里叶变换建立了信号时域与频域之间的关系，频率是信号的物理本质之一。随着计算机技术的发展与完善，科学与工程中的所有计算问题跟计算机已经密不可分，计算机计算的一个典型特征是离散化。而式（1.2）定义的傅里叶变换本质上是一个积分计算，体现为连续化特征，同时在实际应用中信号都是通过离散化采样得到的。为了通过离散化来采样信息以及有效地利

8、用计算机实现傅里叶变换的计算，需要对式（1.2）实现高效、高精度的离散化。为此，需要导出离散傅里叶变换（DFT）的概念。为简单计，设f(x)为[-π,π]上的有限信号，则f(x)的傅里叶变换可简化为：再假设