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1、3.3.3函数的最大（小）值与导数课前自主学案求函数f(x)的极值首先解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧_________，右侧__________,那么f(x0)是函数的_______；(2)如果在x0附近的左侧_________，右侧__________,那么f(x0)是函数的_______．f′(x0)＞0f′(x0)＜0极大值f′(x0)＜0f′(x0)＞0极小值观察图象，你能找出函数的极大值，极小值吗？新课引入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或
2、最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.观察以上两个函数图象，它们在上有最大值，最小值吗？如果有，分别是什么？一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(
3、x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值一.最值的概念(最大值与最小值)观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值因此：该函数没有最值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(
4、a,b)内的可导函数不一定有最值(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个。观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？xX2oaX3bx1yy=f(x)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求函数y=
5、f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值点与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.题型一：求函数的最大值和最小值1、求出所有导数为0的点；2、计算；3、比较确定最值。例2:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令,解得x=-1,0,1.当x变化时,的变化情况如下表:从上表可知,最大值是13,最小值是4.练习：函数y=x³+3x²－9x在[－4,4]上的最大值为,最小值为.分析:(1)由f´(x)=3x²+6x－9=0,(2)区间[－
6、4,4]端点处的函数值为f(－4)=20,f(4)=76得x1=－3，x2=1函数值为f(－3)=27,f(1)=－576-5当x变化时，y′、y的变化情况如下表：比较以上各函数值，可知函数在［－4,4］上的最大值为f(4)=76，最小值为f(1)=－5例3若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．【思路点拨】可先对f(x)求导，确定f(x)在[－1,2]上的单调性及最值，再建立方程从而求得a，b的值．【解】f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′
7、(x)＝0，得x＝0，x＝4，∵x∈[－1,2]，∴x＝0.∵a>0，∴f(x)，f′(x)随x变化情况如下表：已知函数的最值求参数∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3.又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，∴a＝2，∴a＝2，b＝3.例4【思路点拨】把m>f(x)恒成立，转化为求f(x)在[－1,2]上的最大值，只要m大于此最大值即可.与最值有关的恒成立问题解:令解得所以函数的极大值为，极小值为1、已知函数(1)求的极值(2)当
8、在什么范围内取值时，曲线与轴总有交点当变化时,的变化情况如下表:↘--+↗↘--极小值极大值练习曲线与轴总有交点由（1）可知，函数在区间上的极大值为，极小值为，又因，(2)所以函数的最大值为，最小值为2、解令解得x0(0,)(,)+-+00(,)0一、选择题1．若函数y＝f(
