正方体中三棱锥的三视图研究.pdf

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1、解题研究解题研究JIETIYANJIUJIETIYANJIU正方体中三棱锥的三视图研究王恩宾（辽宁省沈阳市教育研究院）摘要：通过对一个高考三视图试题引发的思考和其次，为了便于研究这个zDC联想，拓展、引申出关于正方体中各种不同类型的三四面体的三视图，将四面体的AB棱锥的三视图.这些三棱锥的三视图结论有一定规图形进行补充，补充出如图1律，对这些三视图具有的规律进行提炼、归类、拓展所示的正方体ABCD-A1B1C1D1.D1和总结.第三，以平面zOx为投影C1yA1B1关键词：三视图；正方体；三棱锥；问

2、题模型面，作出四面体A-B1D1C的正x图1视图为ADD1A1（如图2）.一、问题背景答案：A.感悟：当我们将四面体三视图问题是新课改后高考的必考内容，试题的A-B1D1C放在正方体ABCD-类型也在不断变化和创新.正方体和三棱锥是关于三A1B1C1D1中时，以平面zOx为图2视图试题中的两个重要的模型，高考结合这两个模型投影面的正视图ADD1A1很容易被找到.因为找到了正构造、设计出了很多新颖别致的试题.方体这个模型，结合这个模型再找四面体的三视图就例（2013年高考新课程全国Ⅱ卷·理7）一个四变

3、得容易了.结合这个模型还会得到哪些三视图的结面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是论呢？（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），若画该四面体的三视图中的正视图时，以zOx平面为三、问题模型投影面，则得到的正视图可以为（）.1.提出问题以正方体的顶点为三棱锥的顶点构成的三棱锥的三视图会是什么样的图形？为了研究问题的方便，以下涉及三视图的问题都（A）（B）（C）（D）是在满足：平面zOy为正视图的投影面，平面xOy为通过对该试题的解答，会产生哪些启发和联俯视图的投影面

4、，平面zOx为左视图的投影面的条件想呢？下进行的.2.分类解答二、问题解答类型1：正方体中成异面直线的两条棱的4个端首先，根据题意在空间直角坐标系中构造出四面点构成的三棱锥.体A-B1D1C的图形.在正方体中，由成异面直线的两条棱的4个端点收稿日期：2014－05－19作者简介：王恩宾（1963－），男，辽宁沈阳人，中学高级教师，主要从事高中数学教学研究、数学考试评价研究.2014年第12期53解题研究JIETIYANJIU构成的三棱锥共有16个.这16个三棱锥的三视图是全等的等腰直角三角形.例如，

5、由成异面直线的棱DCAAD、A1B1的顶点构成的三棱锥与异面直线的棱D1D、BA1B1的顶点构成的三棱锥的三视图（如图3~6）.DC1z1A1B1DCAB图9图10类型3：正方体中成异面直线的一条棱与一条体D1C1y对角线的四个端点构成的三棱锥.A1B1x在正方体中，成异面直线的一条棱与正方体的一图3图4条体对角线构成的三棱锥共有24个.例如，棱和体对角线的顶点构成的三棱锥的三视z图为3个全等的等腰直角三角形（如图11、图12）.DC同样，其他的类似的三棱锥构成的三视图也是3个全AB等的等腰直角三角

6、形.D1C1yxA1B1DCAB图5图6类型2：正方体中成异面直线的一条棱与一条面D1C1对角线的4个端点构成的三棱锥.A1B1在正方体中，成异面直线的一条棱与一条面对角图11图12线构成的三棱锥有两类.类型4：正方体中成异面直线的两条面对角线的一类是和棱相交的侧面的对角线与棱构成的三棱4个端点构成的三棱锥.锥.此类三棱锥与类型1中的由同一顶点出发的三条在正方体中，成异面直线的两条面对角线构成的棱构成的棱锥完全相同.此类三棱锥的三视图为三个三棱锥分成两类.全等的等腰直角三角形（如图7、图8）.一类是

7、两个面对角线在相交的两个面中，此类的面对角线的顶点构成的三棱锥和一条棱与一条面对角DC线构成的棱锥是一样的.此类三棱锥的三视图是三个AB全等的等腰直角三角形（如图13、图14）.D1C1DCA1B1AB图7图8D1另一类是和棱平行的平面内的对角线与棱构成的C1A1B1三棱锥.此类三棱锥的三视图中有一个正方形和两个全等的等腰直角三角形（如图9、图10）.图13图14542014年第12期解题研究解题研究JIETIYANJIUJIETIYANJIU另一类是两个面对角线是在两个互相平行的平面（6）只有互相

8、平行的面的面对角线构成的三棱锥中，此时构成的三棱锥的三视图是三个全等的正方形.的三视图才都是正方形.要特别注意三视图中正方形内部两条对角线的虚实4.巩固训练（如图15、图16）.练习1：若由棱长为1的正方体的顶点构成的四面体的三视图都是边长为1的正方形，则该四面体的DC体积为，表面积为.AB解：因为在由棱长为1的正方体顶点构成的四面体中，只有由六条面对角线为棱的四面体的三视图才都是正方形，所以由类型4可知，该四面体是棱长为DC11A1B1姨2的正四面体.因为该四面体相