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时间:2020-08-09
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1、极化恒等式(教师版)M图1(1)(2)(1)(2)两式相加得:结论:平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1:如果将上面(1)(2)两式相减,能得到什么结论呢?=————极化恒等式对于上述恒等式,用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例,你觉得极化恒等式的几何意义是什么?几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.即:(平行四边形模式)思考:在图1的三角形ABD中(M为BD的中点),此恒等式如何表示呢?因为,所以(三角形模式)1.掌握用极化恒等式求数量积的值ABCM例1.(201
2、2年浙江文15)在中,是的中点,,则____.解:因为是的中点,由极化恒等式得:=9-=-16【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再写出极化恒等式。目标检测2:掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围解:取AB的中点D,连结CD,因为三角形ABC为正三角形,所以O为三角形ABC的重心,O在CD上,且,所以,(也可用正弦定理求AB)又由极化恒等式得:因为P在圆O上,所以当P在点C处时,当P在CO的延长线与圆O的交点处时,所以【小结】涉及数量积的范围或最值时,可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量,再用数形结合等
3、方法求出单变量的范围、最值即可。目标检测3:会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题例3.(2013浙江理7)在中,是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有。则()A.B.C.D.目标检测
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