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1、第12课时 二次函数考点梳理自主测试考点一二次函数的概念一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.任意一个二次函数都可化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,因此y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数的一般形式.注意:1.二次项系数a≠0;2.ax2+bx+c必须是整式;3.一次项系数可以为零,常数项也可以为零,一次项系数和常数项可以同时为零;4.自变量x的取值范围是全体实数.考点二二次函数的图象及性质考点梳理自主测试考点梳理自主测试考点三二次函数图象的特征与a,b,c及b2-4ac的符号之
2、间的关系考点梳理自主测试考点四二次函数图象的平移抛物线y=ax2与y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k中a相同,则图象的形状和大小都相同,只是位置的不同.它们之间的平移关系如下:考点梳理自主测试考点五二次函数关系式的确定1.设一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式y=ax2+bx+c(a≠0),将已知条件代入,求出a,b,c的值.2.设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),将第三点的坐标或其
3、他已知条件代入,求出待定系数a,最后将关系式化为一般式.3.设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式.考点梳理自主测试考点梳理自主测试考点七二次函数的应用1.二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型,这就需要认真审题、理解题意,利用二次函数解决实际问题,应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题.2.建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆
4、等知识解决问题,求二次函数的解析式是解题关键.考点梳理自主测试1.抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)答案:A2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x<1B.x>1C.x<-1D.x>-1答案:A3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列结论正确的是()A.a>0B.c<0C.b2-4ac<0D.a+b+c>0答案:D考点梳理自主测试4.把抛物线y=-x2向左平移1个单位长度,然后向上平移3个单位长度,则平移后抛物线的解析式为
5、()A.y=-(x-1)2-3B.y=-(x+1)2-3C.y=-(x-1)2+3D.y=-(x+1)2+3答案:D5.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图,则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,另一个解x2=.答案:-1考点梳理自主测试6.函数y=x2+2x+1,当y=0时,x=;当1-1时,y随x的增大而增大.当1-1,∴y随x的增大而增
6、大.答案:-1增大命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点1二次函数的图象及性质【例1】(1)二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是()A.(-1,8)B.(1,8)C.(-1,2)D.(1,-4)(2)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=1,且经过点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1_______y2.(填“>”“<”或“=”)解析:(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求.所以二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(-1,8).故选A.命题点1命题点2命
7、题点3命题点4命题点5命题点6命题点7(2)点(-1,y1),(2,y2)不在对称轴的同一侧,不能直接利用二次函数的增减性来判断y1,y2的大小,可先根据抛物线关于对称轴的对称性,再用二次函数的增减性即可.设抛物线经过点(0,y3),因为抛物线对称轴为直线x=1,所以点(0,y3)与点(2,y2)关于直线x=1对称.则y3=y2.又a>0,所以当x<1时,y随x的增大而减小.则y1>y3.故y1>y2.答案:(1)A(2)>命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点2利用二次函数图象
8、判断a,b,c的符号【例2】二次函数y=ax2+bx
