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1、第9章唯一分解整环在初等数论中，我们已经知道整数的唯一素分解的特性．实际上整数的唯一素分解实际上是整数环的一个特性．现在我们考虑的问题是，是否存在比整数环更抽象的一类环，也存在类似于整数环的素分解的特性？回答是肯定的，这类环也是一类整环，我们称之为单一分解整环．本章的主要目的就是要讨论整环中与分解有关的一些基本概念及一个整环为单一分解整环的充要条件．另外，我们还将介绍几种具体唯一分解整环的实例：主理想整环、欧氏环及唯一分解整环上的多项式环．§1分解的基本概念我们知道在整数环中，与唯一分解密切相关的本概念如整除、素数（素元或既约元）唯一分解的概念等．我们将这些概念可以推广到一般的整环中．首先给出
2、整除的概念．定义1给定整环R，a,b∈R，如果存在c∈R，满足a=bc则称被整除，或整除abba，记为b
3、a．这时称是ba的因子，a为b的倍元．否则，b不能整除，记为ab/
4、a．下面我们将讨论两个元素互相整除的充要条件．定理1给定整环R，a,b∈R，则b
5、a且a
6、b的充要条件是与ab仅相差一个可逆元，即存在一个可逆元c∈R，使a=bc．证明必要性：若a,b相互整除，由b
7、a知存在c∈R使a=bc；由a
8、b知存在c′∈R使b=ca′．所以a=bc=acc′．由整环的消去律得cc′=1．得证．充分性：若存在可逆元c使１８０a=bc，则−1b=ac．从而，ab相互整除．得证．在整数环中，我们知道如果
9、两个整数相互整除，则这两个数仅相差±1．±1恰为整数环的所有逆元．这就提示我们，对于整环的整除而言，如果两个因子仅相差一个逆元，我们认为这两个因子是相同的．在这种意义下，整环的素分解才可能具有唯一性．为了进一步定义素元、既约元的概念，首先定义与逆元有关的几个概念．定义2如果ε是整环R的一个可逆元，则称ε是整环R的一个单位．R中所有单位组成R的子集U构成一个R的乘法子群．定义3给定整环R，对a,b∈R，如果存在一个单位ε使b=aε．则称与ab相伴，b为a的相伴元,记为a～b．例1在高斯整数环中，即一切形如a+bi(a,b是任意整数)的复数（叫做高斯整数）作成的整环中，有逆元的元的模等于1，故高斯
10、整数环的单位为1=)0,1(，−1=(−)0,1，i=)1,0(和−i=,0(−)1．显然，整环中两个元素相伴即意味着相互整除，并且两个元素互为相伴元．在整数环中，a的所有相伴元既为±a．定义4给定整环R，对a,b∈R，若b
11、a，且b不为R的单位或者的相伴元，则称ab为的真因子．否则，为的平凡因子．aba显然，对任意的a∈R，的所有的平凡因子即为aR的单位与a的相伴元．定理2整环中一个不等于零的元a有真因子的充分而且必要条件是存在b和c都不是单位满足a=bc．证明若有真因子ab，那么a=bc，由真因子的定义这里的b不是单位，也不是单位．不然的话c−1b=ac，b是的相伴元，与ab是的真因子矛盾
12、．充分性显然．得证．a推论假定a≠0，并且有真因子ab,如果a=bc.那么c也是的真因子．a如同整数环一样，有了真因子与平凡因子的概念，就可以给出既约元与素元的概念．１８１定义5给定整环R，p∈R，且p
13、ab，必有p
14、a或p
15、b，则p为R的一个素元．易证，若p为素元，ε⋅p也是一个素元，其中ε为单位．定义6给定整环R，p∈R，如果p=ab，那么或至少有一个为单位，则abp为R的一个既约元．显然，在整数环中，既约元即为素元，所以我们在数论中并未区分两个概念的区别．在一般整环中，既约元与素元未必是两个等价的概念．二者的关系通过以下定理与例子便可知晓．定理3在整环R中，每个素元都是既约元．证明设p是
16、R的素元，且p=ab，则p
17、ab，由素元的定义知，p
18、a或p
19、b．不妨设p
20、a，但p=ab⇒a
21、p，即a与p相伴，从而b是单位．同样可知a是单位，即由p=ab可知a∈U或b∈U，依定义，p是既约元．反过来，既约元不一定是素元．我们看下列例子：例2设R=Z[−5]即一切形如a+b−5的所有复数关于数的+,×作成的环，这是一个有单位元1的整环．R的一切单位满足以下性质．取r≠,0r∈U，设r=a+b−,5于是存在s∈U,s=x+y−,5rs=,1即rs=(a+b−5)(x+y−)5=(ax−5by)+(bx+ay)−5=,1１８２⎧ax−5by=,1⎨⎩bx+ay=.0因r≠0，故22a+5b≠,
22、0x,y满足下面等式1−5ba10aab0−bx==,y==.2222a−5ba+5ba−5ba+5bbaba但x,y是整数，故有b=0，从而a=±1，即R中的单位只有±1，U={,1−1}．下面我们证明3是R的一个既约元，但不是R的素元．设3=(a+b−5)(c+d−)5，希望证明，a+b−5=±,1或c+d−5=±1．用上面同样方法，有3a−3bc=,d=．2222a+5ba+5bc,d是整数
