北大版高等数学第八章总结.doc

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1、第一型曲线积分的概念与性质意义：在考虑物质曲线的质量、质心、转动惯量等问题的时候，需要用第一型曲线积分的概念。再一次强调，积分是由极限推来的，极限不存在积分就不存在。第一型曲线积分有下列形式：Lf(x,y)ds存在条件为极限存在ds为弧长其性质有：此时ds=1+y'(x)2dx若有则有。其实参数方程的特殊方式是y=y(x),x=x。在空间上考法：计算函数y=f(x)从A点到B点的积分。方法，1.我们用x代y，然后对x做积分。反过来对y做积分也一样。然后记得乘上一个1+y'(x)2！第二型曲线积分假如一个物体受力为F(x,y)=F(P(x,y),Q(

2、x,y)).我们计算力对物体做功，有dW=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.由此推出第二型曲线积分W=ABPdx+Qdy假如x=φ(t),y=Ψ(t),利用微分中值定理可得，ABPx,ydx+Qx,ydy=ABP(φ(t),Ψ(t))φ'(t)+Q(φ(t),Ψ(t))Ψ'(t)dt*这里利用参数方程的意义就是与定积分建立关系。如果我们用以直代曲的思想来做积分的话，那么我们可以选定一小段曲线上的任何一点来做切线，设τi在ti-1与ti之间i=1nP(ξi,ηi)∆xi=i=1nP(xi,yi)∆xi。设ξi,=φ(τi)，ηi=Ψ(τi)因此有i

3、=1nP(xi,yi)∆xi=i=1nP(ξi,ηi)∆xi=i=1nPφτi，Ψτiφ‘τi∆ti，因此可以推出式子*。推广到空间上是一样的道理。同理有凡是x与y的等式都是参数方程的特殊情况，所以记忆的时候就记参数就行了。性质：1.第二型曲线积分是一种有向曲线弧。在积分的时候一定要分清那个是下限，那个是上限。2.可加性。*对于第二型曲线积分，如果在平面上的曲线，则选择用x代y；如果在空间上的曲线，我们一般就用参数方程来化简，一下子就可以变成对一个元的一次积分。第一型曲线积分与第二型曲线积分的转化设有向量平面曲线弧为L：x=φ(t),y=Ψ(t)其

4、切向量的方向角为α，β其实我们发现跟上面的第二型积分的参数形式上是一样的，本质上不是一样的。不过我们可以知道，他们形式可以互推。第二型的参数形式的本质是y=f(x)是参数形式的特殊情况，而参数的本质是可以将所有不同的积分都化成同一种形式的积分；而第二型曲线积分转化成第一型曲线积分的形式是属于凑出来的，没有什么本质上的含义。*切向量是有参数方程直接导出来的，而其是由f(x,y)、f(x,y,z)求偏导得到的。格林公式意义：有些平面的第二型曲线积分的值只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的选取无关。因此格林公式是为了找出与积分路径无关的条件。其本

5、质是沟通第二型闭曲线积分与二重积分之间的联系。单连通区域是由一条光滑曲线围成的连续的区域，单连通区域但D的边界线L与某些平行于y轴的直线之焦点多于两个的时候可以通过切割法将其化成多个单连通区域，但其一定等于本身最简单曲线的积分；多连通区域是由多于一条光滑曲线围成的区域，不连续区域（可以通过切割的办法将其转化为单连通区域）。连通区域的正方向沿着这个方向前进时区域总是在其的左边。记为L+.定义：设函数P(x,y),Q(x,y)在有界闭区域D上有连续的一阶偏导数，D的边界L是逐段光滑的，则有格林公式：L+Pdx+Qdy=D∂Q∂x-∂P∂ydxdy(证明

6、在单、多连通闭区域中L+Pdx=D-∂P∂ydxdy，L+Qdy=D∂Q∂xdxdy，利用微分中值定理与多连通化成单连通）对于偏导之差可以化简的，则用二重积分来积；假如二重积分的被积函数不可求出其原函数，则其可以从面积积分变成曲线积分。题型：1.求曲线L围成的区域D的面积。由于当∂Q∂x-∂P∂y=1的时候L+Pdx+Qdy=区域D的面积。所以对于求给出方程的曲线，求其面积的话，我们首先就要设参数方程，用其他的元素代替x,y，然后我们可以令P=-yQ=0、P=0Q=x、P=-y/2Q=x/2，要视乎所设的参数方程运用格林公式之后的计算是否可以化简而

7、选择，最后就变成了第二型积分的参数方程形式。例如，求椭圆x2a2+y2b2≤1的面积D。我们采用第三种。2.判断区域是否连续的问题。假如区域连续，直接用格林公式；假如区域不连续(只可以缺一个点，如原点)，则先补一个无穷小的圆进去代替一个那个缺了的点，再减去函数对圆边界的一个积分。（由不可计，到计算一个圆的积分。）*全微分：符合∆z=A∆x+B∆y+ο(ρ)形式的称f(x,y)在点(x0,y0)处可微，并称A∆x+B∆y为f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分。由于全微分与微分中值定理都是利用了无穷小量的原理，所以他们的A、B是一样的,A=fx(x

8、,y),B=fy(x,y)。所以可以求出A、B。所以假如全微分存在，则一定要两个偏导数存在。假如t为位移大小，曲线l的方向