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《高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案（含解析）新人教A版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 [提出问题]已知下列几组向量：(1)a＝(0,2)，b＝(0,4)；(2)a＝(2,3)，b＝(4,6)；(3)a＝(－1,4)，b＝(2，－8)；(4)a＝，b＝.问题1：上面几组向量中，a与b有什么关系？提示：(1)(2)中b＝2a；(3)中b＝－2a；(4)中b＝－a.问题2：以上几组向量中，a，b共线吗？提示：共线．[导入新知]平面向量共线的坐标表示前提条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0结论当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线[化解疑难]向量共线的坐标表示
2、的推导设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．上式若用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)，即a∥b⇔⇔x1y2－x2y1＝0.向量共线的判定 [例1] (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )A. B.C．1D．2(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否共线．如果共线，它们的方向是相同还是相反？[解] (1)A(2)＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，
3、∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线．又∵＝－2，∴，方向相反．综上，与共线且方向相反．[类题通法]向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．[活学活用]1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )A．－ B.C．－或D．0答案：C2．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数k为何值时，(ka＋b)∥(a－3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？答案：当k＝－时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反.三点共线
4、问题[例2] (1)若点A(1，－3)，B，C(x,1)共线，则x＝________.(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．[解] (1)9(2)若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数λ，使得＝λ.∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)．∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即解得k＝－2或k＝11.∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．[类题通法]三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平
5、行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．[活学活用]已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．(1)求实数x的值，使向量与共线；(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？答案：(1)x＝±2(2)当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上向量共线在几何中的应用[例3] 如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．[解] 由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．连接OC，则＝－＝(－2,6
6、)．由与共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．[类题通法]向量共线在几何中的应用及注意事项向量共线在几何中的应用，可分为两个方面：(1)已知两向量共线，求点或向量的坐标；(2)证明或判断三点共线、直线平行．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行．[活学活用]已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，＝(0,2)－(2,4
7、)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴与共线．∵＝(－1,2)，＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，(－1)×1－2×(－2)≠0，∴与不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵＝(－2,1)，＝(－1,2)，∴
8、
9、＝＝
10、
11、，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形． [典例] 已知P1(2，－1)，P2(－1,3)，P在直线P1P2上，且
12、
13、＝
14、
15、.则P点的坐标为________．[解析] (1)当与同向时，则有＝，设P点坐标为(x，y)，＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)．∴(x－2，y＋1)＝(－1－x,3－y)，∴即故P点坐标
16、为.(2)
