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时间:2020-07-04
《高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教A版必修.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1.掌握平面向量数量积的意义,体会数量积与投影的关系.2.正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律.3.理解利用平面向量数量积,可以处理有关长度、角度和垂直问题.一、向量的数量积的概念1.已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做a与b的夹角.练习:(1)当θ=0时,a与b同向;(2)当θ=π时,a与b反向;(3)当θ=时,a与b垂直,记a⊥b.2.已知两个非零向量a与b,我们把数量cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)记作a·b,即a·
2、b=cos_θ,其中θ是a与b的夹角,cos_θ叫做向量a在b方向上的投影.3.“投影”的概念:作图定义:cosθ叫做向量a在b方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0时投影为;当θ=π时投影为-.4.零向量与任意向量的数量积为0.1.向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些?请完成下表.角的范围0°≤α<90°α=90°90°<α≤180°a·b的符号解析:向量的数量积的结果是一个数量,而线性运算的结果是一个向量.影响数
3、量积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.角的范围0°≤α<90°α=90°90°<α≤180°a·b的符号正零负 二、平面向量数量积的性质1.设a与b均为非空向量:(1)a⊥b⇔a·b=0.(2)当a与b同向时,a·b=,当a与b反向时,a·b=-,特别地a·a=或=.(3)cosθ=.(4)≤.2.a·b的几何意义:数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影cos_θ的乘积.3.向量的数量积满足下列运算律:已知向量a,b,c与实数λ,(1)a·b=b·a(交换律).(2)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(
4、3)·c=a·c+b·c(分配律).2.判断正误,并简要说明理由.①a·0=0;②0·a=0;③0-=;④
5、a·b
6、=
7、a
8、
9、b
10、;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦对任意向量a,b,c都有(a·b)c=a(b·c);⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.解析:上述8个命题中只有①③⑧正确.对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有0·a=0.对于②:应有0·a=0.对于④:由数量积定义有
11、a·b
12、=
13、a
14、·
15、b
16、·
17、cosθ
18、≤
19、a
20、
21、b
22、,这里θ是a与b的夹角,只有θ=0或θ=π时
23、,才有
24、a·b
25、=
26、a
27、
28、b
29、.对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a·b=0.对于⑥:由a·b=0可知a⊥b可以都非零.对于⑦:若a与c共线,记a=λc.则a·b=(λc)·b=λ(c·b)=λ(b·c),∴(a·b)·c=λ(b·c)c=(b·c)λc=(b·c)a.若a与c不共线,则(a·b)c≠(b·c)a. 1.已知向量a=(2,-3),b=(-5,8),则(a+b)·b等于(C)A.-34B.34C.55D.-55解析:a+b=(-3,5),∴(a+b)·b=(-3,5)·(-5,8)=15+
30、40=55.故选C.2.已知a·b=12,且=3,=5,则b在a方向上的投影为4.3.设i,j是两个单位向量,它们的夹角为60°,则(2i-j)·(-3i+2j)等于(A)A.-B.C.-8D.8解析:(2i-j)·(-3i+2j)=-6i2+7i·j-2j2=-6
31、i
32、2+7
33、i
34、
35、j
36、cos60°-2
37、j
38、2=-6+-2=-.故选A.4.已知△ABC中,a=5,b=8,C=60°,则·=-20.1.下列命题正确的是(B)A.若a·b=0,则a=0或b=0B.a·b=b·aC.若a·b<0,则a与b的夹角为钝角D.(a·b)·c
39、=a·(b·c)解析:a·b=0⇔a⊥b,a与b不一定是零向量,故A错;对于C,a与b的夹角可以为π,故C错;a·b∈R,b·c∈R,a与c不一定共线,故D错,故选B.2.若=4,=3,a与b的夹角为120°,则a·b为(B)A.6 B.-6C.-6D.63.若a·c=b·c(c≠0),则(D)A.a=bB.a≠bC.
40、a
41、=
42、b
43、D.a=b或(a-b)⊥c解析:由a·c=b·c,得(a-b)·c=0.∵c≠0,∴a-b=0或(a-b)⊥c.故选D.4.在△ABC中,若·=0,则△ABC为(C)A.直角三角形B.正
44、三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·等于(D)A.-16B.-8C.8D.16解析:因为∠C=90°,所以·=0,所以·=·=+·=16,故选D.6.若向量a,b满足:
45、a
46、=1,(a+b)⊥a,
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