小学五年级奥数教案：约数、倍数、完全平方数(讲师版).pdf

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1、学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即若Aa(a,b),Bb(a,b),那么(a,b)1(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即(a,b)[a,b]a

2、b(3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。三、完全平方数常用性质1.

3、主要性质完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。2若质数p整除完全平方数a，则p能被a整除。2.一些推论任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，

4、09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。注意：1．最大公约数与最小公倍数的概念和常用性质2．由数字分解质因数的角度构造原数的方法和思想3．代数方法的应用4．完全平方数的性质和平方差公式5．约数个数计算公式的正向和反向应用6．最大公

5、约数和最小公倍数与原数字的关系7．约数倍数知识点与其他知识点的结合8．完全平方数的性质例题精讲【试题来源】【题目】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【答案】24117032【解析】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=2×3×5；abc360的约数可以且只能是2×3×5,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．22我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,3,它们的

6、和为(1+3+3),所以所有3602yw约数的和为(1+3+3)×2×5；2323我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,2,2,它们的和为(1+2+2+2)，所以所223w有360约数的和为(1+3+3)×(1+2+2+2)×5；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和223为(1+3+3)×(1+2+2+2)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】1【

7、试题来源】【题目】甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数.【答案】30【解析】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×60=360，则乙数为360÷12=30．【知识点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】1【题目】甲乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是l.那么乙数8是多少【答案】631【解析】甲数除以乙数所得的商为1，那么甲数与乙数的比为9：8，则乙数为78568甲数为7963【知识

8、点】约数、倍数、完全平方数【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【答案】96536【解析】设这个数为A,有A=2×3×5×7,99=3×3×11,