看图理解极限.doc

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1、观察图,数列an=1/n,当变量.而且n越接近∞,数列值越接近0,即存在N,当n>N时,不等式成立,观察正弦图,但,y=sinx仍然是周期函数,函数值在[-1,1]之间波动,并不趋向某固定值.如果取X=,观察随k最大，这些逐渐靠近，他们对应的函数值，取值a=1，这些X=变量的函数值都满足不等式，即使不等式成立的a=1，所以当x=这些变量逐渐靠近时，它们对应的函数值y==1，逐渐趋向值a=1.在正弦图上标出点坐标（，sin（）），看看这些点的函数值变化趋势。如果取x=,观察随k最大，逐渐靠近，他们对应的

2、函数值存在值a=0，这些变量对应的函数值满足不等式，即有成立。即x=这些变量的函数值值趋向于0。在正弦图上标出点坐标（，sin（）），看看这些点的函数值变化趋势。总结，当不存在一个固定的a，使所有变量对应的函数值都能使不等式成立，所以函数无极限,或者说变量的函数趋向不同值，那么函数值不存在极限。思考题1：，函数值有没有极限，有界，如果不看图的值变化趋势很难判断如果随k最大，逐渐靠近0点，他们对应的函数值当值a=1，这些变量的函数值都满足不等式，即使不等式成立的a=1。随着k增大，这些逐渐靠近0点，这些

3、变量对应的函数值y==1，趋向值a=1.在图上标出这些点（，sin），看看这些点的函数值变化趋势。如果随k最大，这些也是逐渐靠近0点这些变量对应的函数值，存在值a=0，这些变量的函数值满足不等式，即有成立。这些变量的函数值值趋向于0。在图上标出这些点（，sin），看看这些点的函数值变化趋势。总结，当变量的函数值有些是趋近1，有些是趋近0，变量对应的函数值不是趋近一个固定的a值，或者说不存在一个固定的a，当使所有变量对应的函数值满足不等式，所以函数无极限。或者说当不同变量的函数值趋向于不同固定值时，函数

4、无极限。它与y=sinx的图像有非常大的区别，是一条周期变化的的曲线，，越接近原点周期越小，从图也可以直观看到当函数值或大或小，或正或负变化，并不趋向某个值a思考题2：，函数值有没有极限，有界，如果不看上边的图，乘积的值变化趋势很难判断如果找特殊值当k充分大时，这些变量可充分接近0点，他们对应的函数值函数值可以大于任何一个确定数M，这些变量对应的函数值无界，在图上标出这些点（，sin），看看这些点的函数值变化趋势。如果找特殊值当k充分大时，这些变量可充分接近0点，这些变量的函数值=0，图上标出这些点（

5、，sin），看看这些点的函数值变化趋势。结论：即变量在靠近0点时，对应的变量函数值或大或小，函数值并不随着趋向某个固定值a，当找不到一个固定值a，使每一个变量对应的函数值满足不等式，所以，函数没有极限。从图也可以直观看到当函数值并不趋向某个值a。结合这个现象来证明：函数在某个邻域有两个极限值，则函数在该邻域中无极限假设函数两个极限：x趋近x0时有极限A和B,即x趋近x0,limf(x)=A,limf(x)=B,且A0.根据极限定义:因为Limf(x)=A,对给定的正数ε=(B-A)

6、/4>0.（因为任意小为任意值，所以可设定为一个固定值）一定存在δ1>0,使适合不等式0<

7、x-x0

8、<δ1的一切x所对应的f(x),  恒有

9、f(x)-A

10、<(B-A) /4。同理由limf(x)=B,对ε=(B-A)/4,一定存在δ2>0,使适合不等式  0<

11、x-x0

12、<δ2的一切x所对应的f(x)恒有   

13、f(x)- B

14、<(B-A )/4.现取δ=min{δ1,δ2},那么适合不等式  0<

15、x-x0

16、<δ的一切x,可使两个不等式   

17、f(x)-A

18、<(B-A) /4， 

19、f(x)- B

20、

21、<(B-A )/4同时成立，如果把f(x)–A看做向量，  

22、f(x)-A

23、就是向量模（边长），把f(x)– B看做向量， 

24、f(x)- B

25、就是向量模（边长），把（B-f(x)+f(x)–A）看做两个向量差，

26、B-f(x)+f(x)-A

27、就是向量差的模（第三边边长），根据绝对值不等式性质（两边长之和大于第三边长）从而有B-A=

28、B-f(x)+f(x)-A

29、<=

30、f(x)-B

31、+

32、f(x)-A

33、<(B-A)/2得:B-A<(B-A)/2  不可能成立，所以函数的极限值是唯一的。或者证法2因为Limf

34、(x)=A，由极限定义，对正数ε,存在δ1>0,使适合不等式0<

35、x-x0

36、<δ1的一切x所对应的f(x),  恒有

37、f(x)-A

38、<ε。由limf(x)=B,对同样的正数ε，一定存在δ2>0,使适合不等式  0<

39、x-x0

40、<δ2的一切x所对应的f(x)恒有 

41、f(x)- B

42、<ε现取δ=min{δ1,δ2},那么适合不等式  0<

43、x-x0

44、<δ的一切x,可使两个不等式   

45、f(x)-A

46、<ε，

47、f(x)- B

48、<ε同时成立，根据绝对值不等式性质（