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《高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案 新人教A版必修4.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？ 平面向量共线的坐标表示前提条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0结论当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成＝(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有：x1y2－x2y1＝0⇔a∥b.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a＝(x1，
2、y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.( )(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)√ (2)√2．若向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，则与a＋b共线的向量可以是( )A．(2,1) B．(－1,2) C．(6,10) D．(－6,10)答案：C3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则x等于( )A．－B.C．－2D．2答案：D4．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为________．答案：向量共线的判定[典例] (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1
3、)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )A. B. C．1 D．2(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a
4、－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以＝，即λ＝.[答案] A(2)[解] ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线．又＝－2，∴，方向相反．综上，与共线且方向相反． 向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． [活学活用]已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)
5、，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka＋b与a－3b平行，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－，此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，故ka＋b与a－3b反向．∴k＝－时，ka＋b与a－3b平行且方向相反．三点共线问题[典例] (1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？[解] (1)证明：∵＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)，∴＝，即与共线．又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．(2)若A，B，C三点共线，则，共线
6、，∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.解得k＝－2或k＝11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式． [活学活用]设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？解：＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，＝(1,2x)
7、－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．由与共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.又与方向相同，所以x＝2.此时，＝(2,1)，＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以与不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C，D不在同一条直线上．向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量
