流体力学第七章课件.ppt

《流体力学第七章课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。

1、第七章不可压缩理想流体的无旋运动第七章不可压缩理想流体的无旋运动理想流体是实际粘性流体的简化模型。有些工程问题中忽略流体的粘性，把实际流体当作理想流体处理可得到较满意的结果，例如，研究液体的波浪运动与潮汐运动、空气中液体的射流、通常情况下机翼与翼栅的升力计算。理想流体运动的理论有其局限性，像研究物体的绕流阻力、管道与渠道中流体的运动等就必须考虑流体的粘性。即使如此，这种理论亦是研究实际粘性流体运动规律的理论基础。从无穷远处来的均匀流动或从静止开始运动的理想流体运动是无旋的。此外，雷诺数较大条件下物体的

2、绕流中，只有紧靠物体表面的薄层(称为边界层)内才需要考虑流体的粘性，在该薄层以外的广大主流区，可认为是理想流体的无旋势流。1第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7-1无旋流动的速度势一、速度势的定义及其确定它是使uxdx+uydy+uzdz成为某一函数全微分的充要条件，我们把函数称为速度势。这里t为参变数。必有若是无旋运动，ω=0，在直角坐标系中必有2第七章不可压缩理想流体的无旋运动上述说明了只要求得一个速度势便可确定三个速度分量，速度势与速度的这种关系在柱坐标系与球坐标中可类似地得到，分别为又故则由此

3、说明了无旋必有势，反之可证有势必无旋。3第七章不可压缩理想流体的无旋运动还可证明，ψ对于任意方向l的方向导数等于该方向的分速，即证：由高等数学知识其中，是该方向的单位矢量；α为与梯度的夹角；ul为速度在方向的分量。4第七章不可压缩理想流体的无旋运动顺便可得到标量函数(不限于速度势ψ)的全微分与方向导数及梯度的关系：显然，已知速度分布要确定速度势，可直接根据速度势的定义求得。在直角坐标系中利用斯托克斯定理可证：对于无旋运动，在单连通区域中(域内没有奇点)上述线积分与积分路径无关。积分时可取一条简便的路径

4、，例如图。5第七章不可压缩理想流体的无旋运动连续性微分方程，在直角坐标中为若是无旋势流，可将代入得对于不可压缩流体，上式成为或写成即为拉普拉斯(Laplace)方程，它是一个二阶线性偏微分方程。为拉普拉斯算子。6第七章不可压缩理想流体的无旋运动满足拉普拉斯方程的函数在数学上称为调和函数。由此可见，对于不可压缩流体的无旋流动，问题归结于求解在给定边界条件与初始条件下的拉普拉斯方程，即确定调和函数ψ(x，y，z，t)。对于平面流动，uz=0，上式成为求解速度势ψ的边界条件为(1)在无穷远处，或当(2)在固

5、壁上流体不能渗入亦不能脱离，故有即这种边界条件下求解拉普拉斯方程的边值问题称为诺埃曼(Neumen)问题，又叫第二类边值问题。对于非定常流动，还需利用初始条件。7第七章不可压缩理想流体的无旋运动二、速度势与速度环量的关系对于无旋势流，有式中终点A'与始点A重合。显然，对于单连通区域，ψ是坐标的单值函数，则Γ=0；而对于多连通区域，ψ是坐标点的多值函数，则Γ≠0。8第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7-2平面流动的流函数一、流函数的定义及其确定求解不可压缩流体平面势流问题，除了通过确定速度势ψ的途径以外

6、，还可通过确定流函数的途径。对于不可压缩流体的平面流动，由连续性微分方程，在直角坐标系中为即它是使-uydx+uxdy成为某一函数Ψ(x，y，t)的全微分的充要条件，则有9第七章不可压缩理想流体的无旋运动故Ψ(x，y，t)就称为不可压缩流体平面流动的流函数，是拉格朗日(J.L.Lagrange)首先于1781年引入的。类似地可证：在极坐标中由此可见，只要求出一个流函数，便可确定两个速度分量。无论是无旋流还是有旋流，理想流体还是粘性流体，定常流还是非定常流，不可压缩流体的平面流动总是存在流函数。但是，空

7、间三元流动一般不存在流函数，仅轴对称流动除外(见§7-13)。10第七章不可压缩理想流体的无旋运动不可压缩流体平面流动流函数的确定。显然由于平面流动满足连续性微分方程式(7-13)，它是上述线积分与路径无关的充要条件，因此线积分时可取一条简便的路径。此外，若将式(7-14)代入式(7-13)可发现，引入流函数后连续性微分方程必自动满足。若是不可压缩流体平面无旋流，ω=0，存在将式(7-14)代入上式后得即11第七章不可压缩理想流体的无旋运动说明了不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，即流函

8、数亦是调和函数。求解流函数时还需利用边界条件:(1)在无穷远处(2)在固壁上Ψ=常量，即固壁是一条流线(见下面流函数的基本性质1)。通常取固壁上Ψ=0，即固壁作为零流线。这种求解拉普拉斯方程的边值问题称为狄利克雷(Dirichlet)问题，又叫做第一类边值问题。对于非定常流动，还需利用初始条件。二、流函数的基本性质1.等流函数线为流线因为即为流线方程。12第七章不可压缩理想流体的无旋运动2.对于不可压缩流体的平面流动，任意两点流函数之差等于通过这两点任意