倒易空间Ewald图解.ppt

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1、倒易空间ReciprocalSpace倒易点阵X射线在布拉格平面（h,k,l）上的衍射产生了h,k,l反射，该反射是晶胞的三边在1/h,1/k与1/l处的交叉点。实空间中的系列平面（间距为d）与倒易空间中的点（到原点的距离为d*）。向量d*垂直于布拉格平面，长度

2、d*

3、=2sinθ/λ。当相应的布拉格平面位于反射的位置时，反射是明显的，此时布拉格定律是成立的。另一种描述是：当相应的向量d*和Ewald球面相交时，反射就会明显。倒易点阵的性质倒易点阵是衍射波在空间的方位与强度的分布。倒易空间的每一阵点都和正空间的相应的晶面族对应。定义：设a、b、c为正空间单胞的三基矢，a*、b*、c*

4、为倒空间单胞的三基矢，则：a*•a=b*•b=c*•c=1(1)a*•b=b*•c=c*•a=a*•c=b*•a=c*•b=0(2)（1）决定了倒易矢的长度；（2）给出了方向。2021/8/102图倒点阵与正点阵的关系2021/8/103注意事项立方、四方和正交晶系的三个正空间基矢垂直，倒空间的基矢也垂直。六方、三方、单斜和三斜晶系的三个正空间基矢不垂直，倒空间的基矢也不垂直。正空间矢量表示为r[uvw]=ua+vb+wc倒空间矢量表示为g*hkl=ha*+kb*+lc*2021/8/104性质2倒易基矢g*hkl垂直于对应的正空间点阵（hkl）平面且倒易矢长度为（hkl）晶面间距的

5、倒数证明：（hkl）晶面与三个晶轴相交的截距分别为a/h、b/k、c/l；则:AB=b/k-a/hAB•g*hkl=（b/k-a/h）•（ha*+kb*+lc*）=（k/k–h/h）=0同理可证：CA•g*hkl=BC•g*hkl=0g*hkl垂直于（hkl）平面。2021/8/105在倒易空间里反射组成了点阵，即晶胞（a*,b*,c*）。倒易空间中的维度和角度与实空间中相反：如果晶胞加倍，则X射线反射的距离较少的系数为2。倒易空间对于正交、四方和立方晶胞：2021/8/106b,c,cosβ和cosγ与此相似，只是使用a*、cosα*等。三斜晶胞较为复杂：2021/8/107Ewa

6、ld图解设S0与S分别为入射线与反射线方向单位矢量，S-S0称为衍射矢量，则反射定律可表达为：S0与S分居反射面（HKL）法线（N）两侧且S0、S与N共面，S0及S与（HKL）面夹角相等（均为θ）。据此可推知S-S0∥N（此可称为反射定律的数学表达式），如图所示。2021/8/108讨论衍射矢量方程的几何图解形式衍射矢量三角形——衍射矢量方程的几何图形衍射矢量方程的几何图解如图所示，入射线单位矢量S0与反射晶面（HKL）倒易矢量R*HKL及该晶面反射线单位矢量S构成矢量三角形（称衍射矢量三角形）。该三角形为等腰三角形（S0=S）；S0终点是倒易（点阵）原点（O*），而S终点是R*HK

7、L的终点，即晶面对应的倒易点，S与S0之夹角为2θ，称为衍射角，2θ表达了入射线与反射线的方向。2021/8/109互易网格：Ewald建构2021/8/1010爱瓦尔德图解步骤1、作OO*=S0；2、作反射球（以O为圆心、OO*为半径作球）；3、以O*为倒易原点，作晶体的倒易点阵；4、若倒易点阵与反射球（面）相交，即倒易点落在反射球（面）上（例如图2-16中之P点），则该倒易点相应之（HKL）面满足衍射矢量方程；反射球心O与倒易点的连接矢量（如OP）即为该（HKL）面之反射线单位矢量S，而S与S0之夹角（2θ）表达了该（HKL）面可能产生的反射线方位。2021/8/1011爱瓦尔德

8、球图解法图爱瓦尔德球作图法在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易点阵原点O*为端点作入射波的波矢量k（即图中的矢量OO*），该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即k=1/λ以O为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球（或称反射球）。2021/8/1012由O向O*G作垂线，垂足为D，因为g平行与（hkl）晶面的法向Nhkl，所以OD就是正空间中（hkl）晶面的方位，若它与入射束方向的夹角为θ，则有O*D=OO*sinθ即g/2=ksinθ由于g=1/d，k=1/λ故有2dsinθ=λ同时，由图可知，k与k的夹角（即衍射束与透射束的夹角）等于2θ，这与布拉格定律的结

9、果也是一致的。2021/8/1013几点说明在作图过程中，我们首先规定爱瓦尔德球的半径为1/λ，又因ghkl=1/dhkl，由于这两个条件，使爱瓦尔德球本身已置于倒易空间中去了，在倒易空间中任一ghkl矢量就是正空间中（hkl）晶面代表，如果我们能记录互各ghkl矢量的排列方式，就可以通过坐标变换，推测出正空间中各衍射晶面间的相对方位，这就是电子衍射分析要解决的主要问题。2021/8/1014反射强度假如已知晶胞大小，根据布拉格定律和Ewald构筑，可以计