不定积分经典习题.doc

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1、第六次习题课通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：1、理解原函数、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计算。4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。ì一、知识网络图ì原函数ïïï1.基本概念í不定积分ïïïî不定积分的几何意义ïì不不定积分的性质ï2.性质与公式íïìî基本积分公式定ïï直接积分法ïïì第一换元积分法(凑微分法)íïïï换元积分法í积ï3.计算方法íî第二换元积分法ïïïï

2、分部积分法分ïïî查表法ïì有理函数积分ïïï4.特殊函数的积分í三角函数有理式积分ïï某些无理函数积分ïîî一、求不定积分：例1.计算ò2arctanexdx.e2x提示：ò2arctanex-òarctanexde-2x=-[e-2xarctanex-òdexdx=]e2xe2x(1+e2x)-2xxdexdex=-[earctane-òe2x+ò](1+e2x)=-e-2xarctanex-1-arctanex+Cex例2．计算ò1dxx(1+x)1arctanx[解一]ò1dx=ò1d(x+1)=ln(x+1)+(x+1)2-(1)2+Cx(1+x)

3、(x+1)2-(1)22222221+x(x+1)+C=lnx+2[解二]1dx=1dx=2dx=2ln(x+1+x)+C1òx(1+x)òxò1+(x)2(1+x)1=lnx++x(x+1)+C2其中C=C1-ln2[方法小结]当被积函数含有根式时，通过巧妙的凑微分化成常用积分公式。例3．计算òxexdx(ex+1)2[解一]令ex=t，则òxexdx=òtlnt1dt=òlntdt(ex+1)2(t+1)2t(t+1)2=-lnt+ò[1-1]dt=-lnt+lntt+1t+1t+1t=xex-ln(ex+1)+Cex+1=òlntd(-t+11)=-

4、1ln+tt+òt+11×1tdt-ln(t+1)+C[解二]òxexdx=òxd(ex+1)=òxd(-1)=-x+ò1dx(ex+1)2(ex+1)2ex+1ex+1ex+1=-x+òexdx=-x+òdexex+1ex(ex+1)ex+1ex(ex+1)=-x+ò(1-1)dex=-x+lnex-ln(ex+1)+Cex+1xex+1exe+1=xex-ln(ex+1)+Cex+1[方法小结]被积函数中含有ex的不定积分，可令ex=t,从而将积分化为其它易积的积分。另一方面，当用分部积分法，其中u,dv难以一步得到时，可以先将其中一部分凑成f¢(j(x

5、))dj(x)的形式，从而dv=df(j(x))。例4．计算òx2(1+x2)dx.2[解一]令arctanx=t，即x=tgt，则dx=sec2tdtòarctanxdx=òtsec2tdt=òtcot2tdt=òt(csc2t-1)dtx2(1+x2)tan2t×sec2t=-òtdcott-òtdt=-tcott+òcottdt-t22=-tcott+ln

6、sint

7、-t2+C2=-arctgx+ln

8、x

9、-(arctgx)2+Cx1+x22[解二]òarctanxdx=ò(1-1)arctanxdx=òarctanxdx-òarctanxdarcta

10、nxx2(1+x2)x21+x2x2=òarctanx(arctanx)21(arctanx)2x2dx-2=-òarctanxdx-2=-arctanx+ò1dx-(arctanx)2xx(1+x2)2令x=1，则ò1dx=-òtdt=-1ò1d(t2+1)=-1ln(t2+1)+Cx(1+x2)t22t2t+1+12=ln

11、x

12、+C1+x2从而原式=-arctanx+ln

13、x

14、-(arctanx)2+C。x1+x22[方法小结]当被积函数含有难积的反三角函数时，通常的做法是将这一部分作变量替换。另若分母为相差一个常数的两个因式的乘积，则可以将分式拆项，分

15、别积分。例5.计算ò1+sinxdx1+cosx[分析一]本题属于三角函数有理式的积分,可以利用万能公式作变量替换。解一]令t=tanx，则sinx=2t,cosx=1-t2,dx=2dt21+t21+t21+t2[1+sinx1+2t2t2+2t+12tò1+t2dx=òdt=ò2dt=ò(1+)dt=t+ln(1+t2)+C1+cosx1+1-t21+t21+t1+t21+t2=tanx+ln(1+tan2x)+C223[分析二]本题被积函数含有三角函数,若适当利用三角函数恒等式（如倍角、半角公式、和差化积、积化和差等公式），往往能简化计算。[解二]1+

16、2sinxxxò1+sinxdx=òcos1dx+2