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1、【成才之路】2015-2016学年高中数学2.1.1椭圆及其标准方程练习北师大版选修1-1一、选择题22xy1.已知椭圆+=1上一点P到其一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离2516为()A.2B.3C.5D.7[答案]D[解析]利用椭圆的定义可知
2、PF1
3、+
4、PF2
5、=10.∵
6、PF1
7、=3,∴
8、PF2
9、=7.2.设F1,F2为定点,
10、F1F2
11、=6,动点M满足
12、MF1
13、+
14、MF2
15、=6,则动点M的轨迹方程是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段[答案]D[解析]∵
16、MF1
17、+
18、MF2
19、=6,
20、F1F2
21、=6,∴
22、MF
23、1
24、+
25、MF2
26、=
27、F1F2
28、,∴点M的轨迹是线段F1F2.223.若方程x+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)[答案]D22y22x[解析]先将方程x+ky=2变形为+=1.22k2要使方程表示焦点在y轴上的椭圆,需>2,k即029、b=1,c=-1=4,kk∴k=1.22xy5.已知椭圆+=1的焦点在y轴上,若焦距为4,则m等于()10-mm-2A.4B.5C.7D.8[答案]D10-m>0,m-2>0,[解析]由题意得m-2>10-m,m-2-10+m=4.解得m=8.346.已知椭圆过点P(,-4)和点Q(-,3),则此椭圆的标准方程是()55222y2x22yA.+x=1B.+y=1或x+=12525252x2C.+y=1D.以上都不对25[答案]A22[解析]设椭圆方程为:Ax+By=1(A>0,B>0),9A+16B=1,A=1,25由题意得30、16解得B=1.A+9B=1.2525二、填空题7.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为________.22xy[答案]+=143a+c=3a=2[解析]由题意可得,∴,a-c=1c=122222xy故b=a-c=3,所以椭圆方程为+=1.4322xy8.过点(-3,2)且与+=1有相同焦点的椭圆方程是________.9422xy[答案]+=1151022xy[解析]因为焦点坐标为(±5,0),设方程为+=1,将(-3,2)代入方程可得22aa-522931、42xy+=1,解得a=15,故方程为+=1.22aa-51510三、解答题539.(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点(,-),求它的22标准方程;(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),求椭圆的标准方程.22xy[解析](1)设标准方程为+=1(a>b>0).22ab259+=1222a=10依题意得4a4b,解得.222b=6a-b=422xy∴所求椭圆的标准方程为+=1.10622(2)设椭圆方程为mx+ny=1(m>0,n>0,m≠n).∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点,1m32、=,4m=1,∴∴4n=1,n=1.2x2综上可知,所求椭圆的标准方程为+y=1.422yx10.如图所示,已知点P是椭圆+=1上的点,F1和F2是焦点,54且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.[答案]8-4322yx22[解析]在椭圆+=1中,a=5,b=2,∴c=a-b=1,54又∵点P在椭圆上,∴33、PF134、+35、PF236、=2a=25①2222由余弦定理知37、PF138、+39、PF240、-241、PF142、·43、PF244、·cos30°=45、F1F246、=(2c)=4②22①式两边平方得47、PF148、+49、PF250、+251、PF152、·53、PF254、=55、20③③-②得(2+3)56、PF157、·58、PF259、=16,∴60、PF161、·62、PF263、=16(2-3),1∴S△PF1F2=64、PF165、·66、PF267、·sin30°=8-43.2一、选择题22xy1.设P是椭圆+=1上一点,P到两焦点F1、F2的距离之差为2,则△PF1F2是()1612A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形[答案]B[解析]由椭圆定义,知68、PF169、+70、PF271、=2a=8.又72、PF173、-74、PF275、=2,∴76、PF177、=5,78、PF279、=3.又80、F1F281、=2c=216-12=4,∴△PF1F2为直角三角82、形.2.已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得83、PQ84、=85、PF286、,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.射线D.直线[答案]A[解析]∵87、PQ88、=89、PF290、且91、PF192、+93、PF294、=2a,∴95、PQ96、+97、PF198、=2a,又∵F1、P、Q三点共线
29、b=1,c=-1=4,kk∴k=1.22xy5.已知椭圆+=1的焦点在y轴上,若焦距为4,则m等于()10-mm-2A.4B.5C.7D.8[答案]D10-m>0,m-2>0,[解析]由题意得m-2>10-m,m-2-10+m=4.解得m=8.346.已知椭圆过点P(,-4)和点Q(-,3),则此椭圆的标准方程是()55222y2x22yA.+x=1B.+y=1或x+=12525252x2C.+y=1D.以上都不对25[答案]A22[解析]设椭圆方程为:Ax+By=1(A>0,B>0),9A+16B=1,A=1,25由题意得
30、16解得B=1.A+9B=1.2525二、填空题7.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为________.22xy[答案]+=143a+c=3a=2[解析]由题意可得,∴,a-c=1c=122222xy故b=a-c=3,所以椭圆方程为+=1.4322xy8.过点(-3,2)且与+=1有相同焦点的椭圆方程是________.9422xy[答案]+=1151022xy[解析]因为焦点坐标为(±5,0),设方程为+=1,将(-3,2)代入方程可得22aa-5229
31、42xy+=1,解得a=15,故方程为+=1.22aa-51510三、解答题539.(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点(,-),求它的22标准方程;(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1),求椭圆的标准方程.22xy[解析](1)设标准方程为+=1(a>b>0).22ab259+=1222a=10依题意得4a4b,解得.222b=6a-b=422xy∴所求椭圆的标准方程为+=1.10622(2)设椭圆方程为mx+ny=1(m>0,n>0,m≠n).∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点,1m
32、=,4m=1,∴∴4n=1,n=1.2x2综上可知,所求椭圆的标准方程为+y=1.422yx10.如图所示,已知点P是椭圆+=1上的点,F1和F2是焦点,54且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.[答案]8-4322yx22[解析]在椭圆+=1中,a=5,b=2,∴c=a-b=1,54又∵点P在椭圆上,∴
33、PF1
34、+
35、PF2
36、=2a=25①2222由余弦定理知
37、PF1
38、+
39、PF2
40、-2
41、PF1
42、·
43、PF2
44、·cos30°=
45、F1F2
46、=(2c)=4②22①式两边平方得
47、PF1
48、+
49、PF2
50、+2
51、PF1
52、·
53、PF2
54、=
55、20③③-②得(2+3)
56、PF1
57、·
58、PF2
59、=16,∴
60、PF1
61、·
62、PF2
63、=16(2-3),1∴S△PF1F2=
64、PF1
65、·
66、PF2
67、·sin30°=8-43.2一、选择题22xy1.设P是椭圆+=1上一点,P到两焦点F1、F2的距离之差为2,则△PF1F2是()1612A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形[答案]B[解析]由椭圆定义,知
68、PF1
69、+
70、PF2
71、=2a=8.又
72、PF1
73、-
74、PF2
75、=2,∴
76、PF1
77、=5,
78、PF2
79、=3.又
80、F1F2
81、=2c=216-12=4,∴△PF1F2为直角三角
82、形.2.已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得
83、PQ
84、=
85、PF2
86、,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.射线D.直线[答案]A[解析]∵
87、PQ
88、=
89、PF2
90、且
91、PF1
92、+
93、PF2
94、=2a,∴
95、PQ
96、+
97、PF1
98、=2a,又∵F1、P、Q三点共线
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