二项式展开式在遗传解题中的应用.doc

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1、二项式展开式在遗传学解题中的应用张华明一、二项式1.二项式展开式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an-1b＋…＋Cnran-rbr＋…＋Cnnbn(n∈N)2.二项式通项式Tr+1＝Cnran-rbr(0≤r≤n)二、二项式展开式的应用在遗传学中，二项式展开式通常应用于分析某一杂交后代不同类型组合所出现的概率。例如一个Aa×aa交配，有三个后代，这三个后代可能的基因型组合方式有四种，分别为：①均为Aa；②两个为Aa，一个为aa；③一个为Aa，两个为aa；④均为aa。由于Aa×aa交配后代的基因型可能为Aa和aa，且它们的概

2、率各为1/2。因此利用二项式展开式可以计算各种基因型后代组合的概率，其概率可以计算如下：(p+q)3＝1p3＋3p2q＋3pq2＋1q3＝1Aa3＋3Aa2aa＋3Aaaa2＋1aa3p、q分别表示后代基因型Aa和aa出现的概率，各项指数分别表示各种基因型的个体数。如Aa3表示3个孩子基因型都为Aa的概率。如果后代的个体数较多，利用二项式展开每一项难度较大。此时，可利用其通式进行计算。(p＋q)n展开式的通式可写为：Tt+1＝Cntpsqt＝Cntpn-tqt＝{n!/(s!×t!)}×pn-tqt(0≤t≤n)其中，n为

3、后代个体总数；s和t分别代表概率为p、q的表现型或基因型的个体数，s=n－t；！代表阶乘。例如，求Aa×aa→有五个孩子，其中3个为Aa、2个为aa的概率，就可以将其用二项式表示为：(Aa+aa)5＝1Aa5＋5Aa4aa＋10Aa3aa2＋10Aa2aa3＋5Aaaa4＋1aa5其中“10Aa3aa2”项，将后代Aa和aa的概率代入求得数值，就表示Aa×aa→有五个孩子，其中3个为Aa、2个为aa的概率数值。即：10×(1/2)3×(1/2)2＝5/16。用通项式求其概率，就是将数值代入通项式求得的数值。即：Tt+1＝C

4、ntpsqt＝C52p3q2＝C52×(1/2)3×(1/2)2＝5/16（或{n!/(s!×t!)}×pn-tqt＝{5!/(3!2!)}×(1/2)3×(1/2)2＝5/16）。上述二项式展开式子中“10Aa3aa2”项的系数10，就表示3个为Aa、2个为aa的排列数。具体排列如下：①Aa、Aa、Aa、aa、aa②Aa、Aa、aa、aa、Aa③Aa、Aa、aa、Aa、aa④Aa、aa、Aa、Aa、aa⑤Aa、aa、Aa、aa、Aa⑥Aa、aa、aa、Aa、Aa⑦aa、Aa、Aa、Aa、aa⑧aa、aa、Aa、Aa、Aa

5、⑨aa、Aa、aa、Aa、Aa⑩aa、Aa、Aa、aa、Aa因此，二项式(p＋q)n展开式的各项系数：n!/(s!×t!)，就可以表示n个后代，s个p概率的后代，t个q概率的后代的排列数。例题1：若一头母牛一生中能产5仔至少有两头是雄仔的概率？解：5仔至少有两头是雄仔，包括两头雄仔、三头雄仔、四头雄仔，五头雄仔。所以，5仔至少有两头是雄仔的概率是它们的概率之和。其概率为：C52(1/2)2(1/2)3＋C53(1/2)3(1/2)2＋C54(1/2)4(1/2)1＋C55(1/2)5(1/2)0＝10/32＋10/32＋5

6、/32＋1/32＝13/16例题2：假定新生儿的性别比例为1∶1，如果一个家庭拥有6个孩子，请分析出现下列情况的概率：⑴3个男孩，3个女孩。⑵以1男、1女、1男、1女、1男、1女这样的顺序出现。⑶全部为女孩。⑷全部为同性别。⑸至少有四个女孩。解：⑴3男3女的概率为：C63(1/2)3(1/2)3＝5/16⑵1男1女交替排列的概率为：(1/2)6＝1/64⑶全部为女孩的概率为：C66(1/2)6(1/2)0＝1/64⑷全部为同性别的概率为：2×[C66(1/2)6(1/2)0]＝1/32⑸至少有4个女孩，即包括4个女孩、5个

7、女孩、6个女孩，所以，至少有4个女孩的概率是她们的概率之和。其概率为：C64(1/2)4(1/2)2＋C65(1/2)5(1/2)1＋C66(1/2)6(1/2)0＝11/32。