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1、初中数学二次函数中三角形面积问题解析一、命题意图二次函数中三角形面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题,题型常考常新,体现了数形结合、化归转化、分类讨论数学思想等。如果将三角形这一平面图形问题与二次函数相结合，就需要学生以逻辑思维和空间思维相结合的方式进行学习，以培养学生逻辑思维与空间思维能力相结合的基本数学思想，让学生学会自主思考问题的过程。二、考点及对应的考纲要求初中数学课程教学中关于三角形面积问题的讨论一直是教学重点,这其中牵涉了二次函数与几何问题的融合,是初中数学课程中的一个难点。求面积常用的方法：（
2、1）直接法，若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。（2）简单的组合，解决问题的途径常需要进行图形割补、等积变形等图形变换。（3）面积不变同底等高或等底等高的转换，利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化。（4）如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”()，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高()”.可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积
3、的一半。三、试题讲解过程如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过（－1，0），（4，0），（0，－4）三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点是该抛物线上一动点，且在第四象限，当的面积最大时，求点的坐标.解:（1）解法一:由题意得，c=－4,∴,解得：,∴,解法二:由题意得，设y=a（x+1）（x-4）,∴-4a=-4,∴a=1,∴y=（x+1）（x-4）,∴,（2）解法一:由（1）可知，y=x2－3x－4,设点D为（x,x2－3x－4）,过点D作DE∥OC交BC于点E,设直线BC的解析式为y=kx＋b,则5，∴，∴
4、y=x－4,∴E（x,x－4）,∴DE=（x－4）－（x2－3x－4）=－x2＋4x,∵a=－1＜0,∴当x=2时,DE取最大值，S△BCD取最大值，∴D（2,－6）.解法二：由（1）可知，y=x2－3x－4,设点D为（x,y）,过点D作DF⊥OB于点F,S△BCD=S梯形OCDF＋S△BDF－S△OBC=x（4-y）＋（-y）（4-x）－8=2x－2y－8=2x－2（x2－3x－4）－8=－2x2＋8x,∵a=－2＜0,∴当x=2时,S△BCD取最大值，∴D（2,－6）.解法三:由（1）可知，y=x2－3x－4,
5、过点D作DE∥BC,设直线BC的解析式为y=kx＋b,则，∴，∴y=x－4,∴设直线DE的解析式为y=x＋d,则x2－3x－4=x＋d,x2－4x－4-d=0,∴当△=（-4）2-4（-4-d）=0,d=-8,S△BCD取最大值，∴x2－4x＋4=0,∴（x-2）2=0,∴x1=x2=2,∴D（2,－6）.四、试题的拓展延伸及变式分析如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过（1，0），（3，0），（0，3）三点.（1）若点是抛物线的对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；（2）在（1）的情况下，抛物线上是否存在除点以
6、外的点，使得的面积与的面积相等，若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵抛物线经过A（1，0），B（3，0），∴抛物线的对称轴l是x==2，∵△ACD的周长=AD+AC+CD,AC是定值，∴当AD+CD最小时，△ACD的周长最小，∵点A、点B关于对称轴对称，∴连接BC交于点D，即点D为所求的点,设直线BC的解析式为，∴，∴,∴直线BC的解析式为，5当x=2时，y=-x+3=-2+3=1，∴点D的坐标是（2，1）.（2）解：由（1）可知，∵抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，∴
7、c=3,∴,解得：,∴,解法一：如图，①过点A作AP1∥CD交抛物线于点P1，∴设直线AP1的解析式为，∴-1+d=0,∴d=1,∴直线AP1的解析式为，解方程=，（x-1）（x-2）=0，∴x1=1,x2=2,当x1=1时，=0（不合题意，舍去），当x2=2时，=-1，∴点P1的坐标是（2，-1）.②设直线AP1交y轴于点E（0，1），∴CE=2，把直线BC向上平移2个单位交抛物线于P2，P3，得直线P2P3的解析式为，解方程=，x2－3x－2=0,∴x3=,x4=,当x3=时，=，当x4=时，=，∴点P2的坐标
8、是（，）,点P3的坐标是（，）,综上所述,抛物线上存在点P1（2，-1）,P2（，）,5P3（，）,使得△PCD的面积与△ACD的面积相等.解法二：如图,过A点作AE∥y轴，交BC于点E．则E点的纵坐标为．∴AE＝2．设点P为（，），过P点作PF∥y轴，交BC于点F，则点F为（，），PF∥AE．若PF＝AE，则△PCD与△ACD的面积相等．①若P点在直线BC
