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1、高中课程数学选修4-1（考试全部内容）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90º的圆周角所对的弦是直径.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角定理圆心角定理推论1推论2一。圆周角定理二.圆内接四边形的性质与判定定理ABCDOABCDADBCDABC性质定理1圆内接多边形的对角互补性质定理2圆内接多边形的外角等于它的内角的对角如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.如果四边形的一个外角等于
2、它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.性质定理1圆内接四边形的对角互补性质定理2圆内接边形的外角等于它的内角的对角。如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.例：假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.CABDEOABCDEO证明：(1)如果点D在⊙O外部。则（1）（2）∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180°得∠D=∠AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外
3、。(2)如果点D在⊙O内部。则∠B+∠E=180°∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法---------穷举法推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.DABCE例如图，都经过A,B两点。经过点A的直线CD与交于点C,与交与点经过点B的直线EF与交于点E,与交与点F.ACDE
4、BF证明：连接AB∴∠BAD=∠E.∴∠BAD+∠F=180°∴∠E+∠F=180°∴CE//DF.求证：CE//DF.∵四边形ABEC是的内接四边形。∵四边形ADFB是的内接四边形。习题1.AD,BE是△ABC的两条高，求证：∠CED=∠ABC.2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。CABEDo三.圆的切线的性质及判定定理圆与直线的位置关系:相交-----有两个公共点相切-----只有一个公共点相离-----没有公共点切线的性质定理:OM推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论
5、2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.圆的切线垂直于经过切点的半径A切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AOB.直线与圆只有一个公共点,是切线.在直线上任取异于A的点B.连OB.则在Rt△ABO中OB>OA=r故B在圆外例如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.证明:连接OD.∵BD=CD,OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD//AC.又∵∠DEC=90º∴∠ODE=90º又∵D在圆周上,∴DE是⊙O是切线..AOBDCE习题如图
6、,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D.ABOCD求证:AC与⊙O相切.E2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,.求证:RP=RQBOPARQ∠AQO=∠APQ⌒BC与AD的度数差的一半等于∠APD的度数.⌒⌒DACBPAD的度数与BC的度数和的一半等于∠APD的度数.DACBPE⌒AB与CD相交于圆内一点P.证明:∵∠ACD=AD⌒∴∠P=∠BAC-∠ACP⌒即∠APD的度数等于BC与AD度
7、数的一半.⌒圆内角定理:且∠BAC=∠P+∠ACP∠CAB=BC⌒1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角四。弦切角性质2.弦切角定理切角等于它所夹的弧所对的圆周角ＡＢＣＯD弦切角性质例.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D.求证:AC平分∠BAD.解：五。与圆有关的相关线段1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。ABCDPPA·PB=PC·PD与圆有关的相关线段2.切，割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割
8、线与圆的交点的两条线段长的积相等.PA·PB=PC·PDABCDPPE²=PC·PDE与圆有关的相关线段4.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角PA=PCPAC与圆有关的相关线段例.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引两条弦AD和BE,相交于点C,求证:AC•AD+BC•BE=AB².证明：练习1.如图，经过圆上的点T的切线和弦AB的
