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1、2019年高考全国卷Ⅰ数学试题解读蚌埠市教育教学创新研究会杨培明杨熙每年高考后,一些“有才”的数学老师会说:“今年高考数学容易,所有的题目我都讲过了”.今年高考后依然如此,这些职业吹牛的“有才”老师,是不可能有进步的.2019年高考已落下帷幕,2019年的高考数学势必会给高中数学教学,尤其是高三数学迎考带来很大的冲击,也给许多希望进步的老师和学生,提出了一些值得深思的问题.一.小题真的大题化吗？[例1]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第10题,(文科)第12题)已知椭圆C的焦点F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A、B两点,若
2、AF2
3、=2
4、
5、F2B
6、,
7、AB
8、=
9、BF1
10、,则C的方程为()(A)+y2=1(B)+=1(C)+=1(D)+=1本题(客观题,小题)与如下高考解答题(大题),不仅同构,而且难度相当.(2010年辽宁高考理科第20题)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为600,=2.(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)如果
11、AB
12、=,求椭圆C的方程.[官方解析]:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1>0,y2<0;(Ⅰ)直线l的方程为y=(x+c),其中c=;联立得(3a2+b2)y2-2b2cy-3b4=0(不易想
13、到消x得关于y的方程),解得y1=,y2=(易想到利用韦达定理,不联系下一步,不知为何要解出y1,y2),因为=2,所以-y1=2y2,即-=2,得离心率e==;(Ⅱ)因为
14、AB
15、=
16、y1-y2
17、,所以=,由=得b=a,所以a=,得a=3,b=,椭圆C的方程为:+=1.难道小题真的大题化吗？如果按照官方解析求解例1,则真的就是“小题大做”,即使得到正确结果,由于用时过长,也造成潜在失分.我们知道客观题只要结果,无需过程.因此,小题快解是应对高考的首要问题.多年的实践证明:利用高考数学母题,可达到小题快解之目的.我们在《2019年高考数学押题密卷(六套卷)》(
18、见母题网、百度文库和豆丁网等网站,以下简称《六套卷》)的第三卷(理科)中,我们给出:(《六套卷》第三卷(理科)第10题)过双曲线C:=1的右焦点F的直线与其右支交于A,B两点.若
19、AF
20、=m,
21、BF
22、=n,则=()(A)1(B)2(C)3(D)4[母题]:设圆锥曲线(双曲线需同支)中,共线焦半径分别为r,R,通径为L,则+=.[解析]:由母题:==3.故选(C).利用上述母题,可给例1的绝妙解答.[解析]:由
23、AF2
24、=2
25、F2B
26、和+=
27、F2B
28、=,
29、AF2
30、=;又由
31、AB
32、=
33、BF1
34、+2=2a=.故选(B).根据上述母题,可妙解所有焦点分焦点弦比的问题
35、,如:1.(2010年全国Ⅰ高考试题)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2,则C的离心率为.2.(2010年全国Ⅱ高考试题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点.若=3,则k=()(A)1(B)(C)(D)2高考数学母题不是解决某道试题的特殊技巧、方法和结论,而是解决一类试题的核心结论和本质方法.举例如下:[例2]:(《六套卷》第二卷(理科)第15题)如图,已知双曲线C:-=1的右焦点为F,以原点O为圆心,
36、OF
37、为半径的圆O与双曲线C的一条渐近线相交
38、于点B,若BF的中点A在双曲线C的另一条渐近线上,则双曲线C的两条渐近线夹角是.[母题]:若双曲线C:-=1的右焦点为F,则以原点O为圆心,
39、OF
40、为半径的圆O与双曲线C的渐近线相交于点的横坐标=a.[解析]:由母题知,B(-a,b),又F(c,0)BF的中点A(,);由点A(,)在y=x上==2=∠AOF=双曲线C的两条渐近线夹角=.利用上述母题,可快解:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第16题)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点.若=,=0,则双曲线C的离心率为.[解析]:由母题知,B(a,b),
41、又F1(-c,0)BF1的中点A(,);由点A(,)在y=-x=e==2.对比以上两题:①由同一个母题生成;②所有条件相同;③解题程序同构,两题的契合度之高,令人称奇.利用高考数学母题预测高考试题不仅是可能的,可操作的,而且是有规律的.如:1.试题出处2019年全国Ⅰ卷(文理科)第5题《六套卷》第二卷(文科)第8题真题再现函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为()已知函数f(x)=,则y=f(x)在(-π,0)∪(0,π)上的图像是()解法母题[母题]:着意使用排除法.可妙解给定的函数图像选择题,常用手段有:取值排除、奇偶排除和凸凹排除.试题解答[解析]:
42、由y=cosx+x2是偶函数,y=sinx+x是奇函
