数值分析,考博必考课程,研一考试复习专用8-2

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1、1此时对于给定的允许误差，只要k适当大，就可作为方程根满足精度要求的近似值。这种求方程近似根的方法称为简单迭代法（逐次迭代法）。称为迭代公式或迭代过程称为根的初始近似值称为根的k次近似值；称为迭代函数；称为迭代序列若迭代序列收敛，则称迭代法收敛，此时可经过有限次计算得到满足精度要求的近似根；其中：若迭代序列发散，则称迭代法发散，发散的迭代法没有任何使用价值。2例3用迭代法求方程在内的根。解将方程转化为等价方程得相应的迭代公式若取初值计算结果如下表从表中可以看出，迭代序列是收敛的，且是方程根的一个较好的近似值。12345789101.894536471.893521141.893

2、332331.893297221.893290691.893289471.893289251.893289211.893289201.89328920……63注：很明显，将方程改写成等价方程的形式是不唯一的，如上例中,原方程也可改写成此时相应的迭代公式可见,所得迭代序列趋于无穷大,即发散.42、迭代法的几何意义若点列越来越逼近P，则迭代法收敛，否则发散。5678最后证明迭代法的收敛性91011再由拉格朗日定理，有1213141516171819又当时，其中介于之间，这又说明在上满足定理1的条件（2）。例5方程有唯一实根试讨论迭代法的收敛性。解设显然在内，连续且所以迭代法在附近具

3、有局部收敛性。只要取得充分靠近，迭代过程必收敛。20例5用迭代法求方程在隔根区间内的根，要求精确到解⑴构造迭代公式方程等价形式为相应的迭代公式为⑵判断迭代法的收敛性显然在内连续而在内有实根又在内存在，且所以由定理2知，迭代法收敛。⑶列表计算如下：211.51.4124801.47270571.46881731.46704801.46624301.46587861.46570201.46563441.46560000123456789所以22